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Vogliamo ora esaminare il significato che acquista l’espressione 3) quando, per 
r = oo. la serie divenga infinita. La differenza tra due termini consecutivi nella 
serie 3) è 
(A-f- l) r ~ 3 
(A u) r 
Per 1, essa è negativa; quindi la serie è crescente e divergente. Per u^> 1, 
essa è positiva; quindi la serie è decrescente, e pur non di meno, divergente. 
Per persuadersene, basta esaminare se si verifica la nota condizione di divergenza 
( °° 
lim ; r N „ 
r=00 ( —* 
(A -f- uY ( 
>0 
4) 
In questa figura la serie decrescente 
y (*+ i r , _ ìim j 1 ^* ■ 2»-» (Hip 
—* {k-\-uY zi» ( u r " r (14-iO r " r (A+«) r )’ 
A questa sostituiamo un’altra. 
lim< ( * +1) ’"' * _lim 1 + 1 1- 8 (*+!/- ) 
;L“( (i + »r ) (k + u-Y (k + uY )’ 
la cui somma è minore della prima, perchè, trattandosi di serie decrescenti con 
soli termini positivi, nella seconda serie ogni termine è più piccolo del termine cor¬ 
rispondente nella prima. Sostituendo nella 4), abbiamo 
/ co 
lim ’ r 
r=a> ( o 
(* + 1 ) r ~ 2 ) 
(A + uY 
c > lim \ 
J ft=oo ( 
(A -f~ lp \ _ r=“ ^ r ( 1 A 
(A -f* uY ' k=ao 1 A -f~ 1 / y j Yl 
e, considerando che 
lim r | log (l + ì)- log (l+|)| --(«-1) lim(j). 
anche 
! k= oo 
«r v (*+«> 
U + 1 ( 
4,) 
Esaminando la relazione (3), si vede che r e A, seguendo il medesimo anda¬ 
mento, procedono all’infinito mercè la successione naturale dei numeri interi. Ne 
segue che 
lim (*qh) = lim (ì) = 1 ’ 
per cui la 4,) si riduce a 
lim 
r= oo 
per tutti i valori finiti di u. Ne segue che la condizione 4) rimane soddisfatta ; 
00 
(a+ ir* 
(A 4- uY 
>0 
4„) 
