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per cui è dimostrata la divergenza della serie 3) per il caso di r — oo e per tutti 
i valori finiti di u. 
Nel caso speciale di u = 1, i singoli termini della 3) si riducono a 
1 7T 2 
4-M^ + i) 2- 6 ; 
e ponendo M=lzt£, dove per s s'intende una quantità positiva, infinitamente 
decrescente, si ha 
lim j <2> r (l ztz s) ( = — A zt lim je r ( . 
r=oo 0 f=co 
I valori e e r sono arbitrarli e interamente indipendenti l'uno dall’altro. Ne segue 
che l’espressione lim(f r) può assumere qualsiasi valore compreso tra -f~ 00 0 — oo. 
Riassumendo questi risultati, si trova che 
per u^> 1 lim J3>,.(w)j = -f- °° 
r=oo 
» 0 u 1 » — oo 
e che, per u— 1, questa funzione assume tutti i valori compresi tra +oo e —oo. 
2. L'equazione 1), in cui r rappresenta per ora numeri positivi e interi, ed u 
numeri positivi, costituisce un gruppo di trascendenti, che hanno per u — 1 un valore 
comune —A. Esistono, fra di esse, relazioni molto semplici. 
Moltiplicando la 1) per ( u — l) r e derivando tale prodotto rispetto ad m, si ha 
la relazione 
4> r+1 (u) = 4> r (u) + ^ r 1 4>' r (u) , 5) 
dove per <P' r (u) s’intende la derivata di 4> r (u) rispetto ad u. Essendo 
la 5) prende anche la forma 
®r+i(u) = <P r {u) + (U — 1 ) 
r—1 
(*+l> 
(k + u) r 
6) 
7) 
ove l’equazione è definita da una serie convergente. Essa fornisce una relazione molto 
semplice tra due funzioni 4>(u) dall’ indice successivo, e, invertita, esprime la somma 
di quella serie infinita mediante la differenza di queste due funzioni. Così, per 
r = 1,2,3 ecc., si hanno rispettivamente le relazioni 
- <■>. M = (»—n j ì? + (1 jp-y ,+ ( - 2 + • inf -j 
ecc. 
