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e sommando tutto insieme, si Ita la doppia relazione elegante 
Per r— 1, la serie infinita che qui figura prende la forma semplice 
\ - — —— —1—-_l—-_L_ • • • ini' ■ 
V* {k + u) nJrl u n+ì ' (1 -f- w)”'*' 1 ^ (2 -f- w) n+1 ' 
e si vede che la sua somma può essere espressa, sia mediante un polinomio carat¬ 
teristico, del grado n , di funzioni tf> r {u) dall’indice successivo, sia mediante la deri¬ 
vata di ) presa n volte rispetto ad u l 1 ). La relazione 9„) acquista una impor¬ 
tanza anche maggiore dal fatto che, per ragioni che si vedranno in seguito, essa 
vale anche per valori frazionari e irrazionali di r; per cui il problema della som- 
mazione della serie infinita che figura in 9„), è definitivamente risoluto. 
3. Prendiamo come punto di partenza nuovamente la (5) e scriviamo in essa 
successivamente r,r-f-l,r-j-2,... al posto di r. Con successive derivazioni 
rispetto ad u, si hanno le relazioni 
<I> r+l (u) = Q> r (u) -f* 
K(u) 
d> r + 2 (u) — (t> r {u ) -j- 2 ~ ®’ r {u) -f- ^ r _|_ ^ ( K'(u) 
(t> r+z{u) = <P r {u) 4- 3 ~ ®’ r (u) -f- 3 ^ ^ ®r(u) + 
ecc. 
- ^ +1)3 - 
r(r -j- 1) (r -f 2) r 
La legge dello svolgimento è chiara, per cui si ha 
«-„,(*) = t, (*) (» -1)‘ . 10) 
dove n è un numero intero e positivo, e per <D {i) (u) s’intende la derivata di <fV(w), 
presa i volte rispetto ad u. Per n = 1 si ritorna naturalmente alla 5); all’incontro, 
per r = 1, si ha 
<P 1+n (a) = y_i 7f ( n . ) (u — 1)* . 11) 
Le relazioni 10) e 11) dimostrano come si possa sempre calcolare una funzione 
( l ) La somma di quella serie mediante derivate di #,(w) fu già data dal Gauss (Werke, voi. Ili, 
pag. 153). 
