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d> r +„(u) o <2>,+„(?/), quante volte si conoscano la funzione <D r (u) o la (D^u ) e le 
sue successive derivate. La relazione 10) può anche svolgersi direttamente, partendo 
dalla equazione fondamentale 1), scrivendovi r-\-n al posto di r e dandole la forma 
<D r 
i(m) = lim \ log k — 
*=00 \ 
4* (h + uY 
U—l \ n ) 
h -}- u / ) 
Svolgendo il binomio coll'esponente n e sostituendo i valori delle singole deri¬ 
vate di <D r (u ), si arriva senz’altro alla forinola 10). Questo secondo modo di sviluppo 
è più interessante del primo, perchè vale anche per valori frazionari di n. Soltanto, 
li - 1 
si ha allora una serie infinita, per la cui convergenza si richiede che - < 1, 
ZI ~ 1 
ossia che-< 1, k = 0 essendo uno dei possibili valori di k. Questa condi- 
u 
zione di convergenza è soddisfatta da tutti i valori positivi, finiti, di u. Scrivendo, 
con questa avvertenza, g invece di n, per esprimere meglio il caso di una quantità 
frazionaria, la 10) si trasforma in 
(D r+p {u) 
V (r-l) l /g\ 
4*’ (r -f- i — 1 ) ! \ i / 
(u — 1 )* <D ( i\u) , 
dove r rappresenta il numero intero della frazione r -(- q . Ma, per ragioni che meglio 
si vedranno nella seconda parte di questa Memoria, la 10,) vale anche per valori 
frazionari di r. Scriviamo dunque, in questo caso, co invece di r\ la 10,) prende la 
forma 
<*>w+ P (u) = (Dm(u) + ^7 — (u - D <D' m (u) + 
J ! CO 
e questa relazione permette di dedurre una funzione (Dm+p(u ), con un indice frazio¬ 
nario qualsiasi, da un’altra <Dm(u) coll’ indice frazionario e dalle sue successive de¬ 
rivate. La serie 10„), come l’analoga in 10,), rimane convergente per tutti i valori 
positivi, finiti di u , purché anche m e o siano finiti. Il che si dimostra direttamente, 
considerando che (a queste condizioni e a parte il segno) il termine generale della 
serie, diviso per il termine precedente, ha un limite inferiore all’unità e precisa- 
i u — 1 
mente =-. 
u 
4. Le funzioni <D r (u) hanno, come le <2>,(w) e <D 2 (u). un polinomio caratteristico 
per tutti i valori finiti, positivi, interi di r; e tale polinomio consta di r* —j— 1 ter¬ 
mini per funzioni n successive, n essendo nn numero finito, positivo e intero. Per 
dimostrarlo, partiamo dalla definizione 1) e scriviamo 
<D r {u) = lim 
ft=co 
i 0ff k _y ft+ir 1 4 (A+ini 
g -T* (h + uy -* (h + uY r 
