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la somma compresa entro la parentesi j ( è sempre = 0, per tutti i valori di m 
qui contemplati. Basta partire dalla formola binomiale 
derivarla rispetto a x, poi moltiplicarla per x e derivarla ancora, e ripetere questa 
doppia operazione m — 1 volte di seguito. Si ha 
«o(l — x) r ~ m + • • • a m -x( \ — x ) r ~ 1 = 
= ° M (o ) — l m ( 1 ) * + 2 m (2 ) ** — 1^ rm (r ) a:r ~‘ ’ 20 ) 
dove 
«„ = (—l) w 
ri 
(r — m)\ 
e gli altri coefficienti tino ad non importa conoscere. Da questa relazione, po¬ 
nendo x=l, risulta che, finché m<^r, il primo membro è = 0, per cui si ha 
°"(o)— lm (l) + 2 "(^-(—1)T”(^) = 0. 21) 
Ma quando fosse m=r, allora il primo membro, per x = 1 si riduce ad a a e si 
ha quindi 
° r (o)~ 1 ’'(l) +2r (2)- ( ly r* (£ ) = ( l) r ri 22 ) 
Nella formola 19) m non supera mai il valore r —1, dunque è sempre appli¬ 
cabile la 21) e la serie entro parentesi j j è sempre =0. Essa va poi moltiplicata 
per i fattori 
m ' (k -f- w) r 
e sul prodotto va estesa la somma da k = rn fino a k — 00 . Si ha quindi una 
espressione della forma seguente : 
*+i y 0 . 
k + u) (£+ ir- ’ 
23) 
e questa è sempre = 0, anche nel caso il più sfavorevole di m = 0. Ne segue che 
anche una somma finita di simili termini è =0; per cui tutta l’ultima colonna 
del quadro 14) si riduce a zero. 
6. Riassumendo i risultati parziali, ottenuti per il quadro 14) colle formole 15). 
17), 18) e 23), si ha per il polinomio caratteristico delle funzioni 4> r {u) n succes¬ 
sive, per tutti i valori positivi, interi di r, l’espressione 
S<(—i) *(;)<».■(« + <'») — I, c,. 
24) 
