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Dalla formola 12) si può ancora dedurre un’altra conseguenza. Supponendo che 
in essa, n divenga infinito, la prima delle serie che vi figurano diviene infinita, e 
la seconda non ha più ragione di essere. In tale caso possiamo scrivere 
°° ( h _I_ 1 Ir—1 
lnn O r (u + n) = <M«) + Z* u f » 
e la serie, oramai infinita, essendo divergente, si ha 
lim 4> r (u -f- n) = -j- oo . 
»= co 
Ne segue, che le funzioni <P r (w), per valore infinito positivo del loro argomento, 
vanno tutte all’ infinito positivo. 
7 . Scrivendo, nella 12), 1 +• u al posto di u, k al posto di k -{- 1, si può 
dare a quella relazione la forma seguente, n essendo un numero intero e positivo: 
+ 1 + u) = «MI + u) + + I, (A + u y ■ 
Ponendo u = 0, si ha 
n i oo br— i / b M \r— 1 
<m»+d—a —+-^-. 
TI +-1 
k r 
Sviluppando il binomio nella serie infinita, e adottando i simboli, che ricorreranno 
sovente, 
- A + % \ = Si*' , % 1 = Si"' , f » ± = Si,- . % ± = S<"', 
T * 
ri -t-1 
71-+-1 
A 3 
ri-4-1 
A* 
si ha 
0) r (« + l) = Si' l) + ^ 1 2 1 H-(— l) r _J) S«?>. 27) 
La serie è finita per valori positivi interi di r. Ponendo successivamente r=l,2, 
3,4, si hanno espressioni semplici, che si prestano facilmente al calcolo numerico, 
+ 1) = Sl*> 
®,(» -+ 1) = Sl*> + n$»> 
<P 8 (» + 2) = S[ n) -f 2n®? ) — n% n) 27,) 
0> 4 (w + 1) = S) n > + 2nS{ n) — 3ze 2 S^ +- rc 3 S< n) . 
Così, a titolo d’esempio, si ottiene la seguente tabella : 
r — 1 
T — 2 
r = 3 
r — 4 
* ri-v 
0 fi77 ai 665 
0 ^77 215 665 
0 577 215 665 
0 577 215 665 
*r(2) 
+ 0,422 784 835 
+ 1,067 718 402 
+ 1,510 595 565 
+ 1,833 739 060 
*r(S) 
+ 0,922 784 335 
+ 1,712 652 469 
+ 2,194 252 990 
+ 2,526 291 768 
*r(4) 
+ 1,256 117 668 
+ 2,107 586 536 
+ 2,598 876 608 
+ 2,931 881 862 
*r(5) 
+ 1,506 117 668 
+ 2,391 409 491 
+ 2,886 383 456 
+ 3,219 603 064 
