- 573 — 
Per ragioni, che saranno svolte nella parte li di questa Memoria, la 27) vale 
anche per valori frazionari dell’indice r. Scriviamo r q al posto di r, intendendo 
con r un numero intero, e con q una frazione pura, la 27) si può trascrivere così: 
+ 1) = Si*’ + (' + , _ 1 ) »sp - ( + •■• taf. 27,,) 
La serie è ora infinita e va soggetta a condizioni di convergenza. Ma è facile vedere, 
che essa .rimane convergente per tutti i valori finiti positivi di n. Ponendo quindi, 
112 
a titolo di esempio, r = 0 , si hanno le formole speciali 
O u O 
+ 1 ) « - | - || n* S<"> - HI w } S<"> - • • • inf. 
<Pi(n + 1) = — \ n Sf» - || n*k> - ||| n 3 S<"> - • • • « 27,„) 
+ 1 ) = Si"» — | |S<"> || /z 2 S^> — IH nV — • • ; » 
dalle quali, con un calcolo alquanto lungo, stante la poca convergenza delle serie (*), 
si ricavano i valori, per n== 0,1,2, rispettivamente : 
1 
* = 8 
1 
e = 2 
2 
? = 3 
*p(l> 
— 0,577 2157 
— 0,577 2157 
- 0,577 2157 
v 2 » 
- 0,190 4084 
— 0,019 0285 
+ 0,139 5124 
* P (3) 
+ 0,059 9768 
+ 0.304 5921 
+ 0,534 2522 
8. Le formole del numero precedente contemplano funzioni <Zv(w) n successive 
e dimostrano, come il loro polinomio caiatteristico può esssere espresso mediante 
somme finite di funzioni puramente algebriche. Ma quando due o più funzioni <JV(w) 
si trovino unite con argomenti arbitrari, si arriva sempre ad espressioni contenenti 
serie infinite. Sia 
Q> r (u i) = lim ) log k — 
fc=oo ( 
<I> r {u 2 ) = lim ) log k — 
£=00 ( 
~ò~ h “h w i) r ' 
—(h +- u 2 y ) ’ 
dove U \, u 2 rappresentano variabili positive e finite, d’altronde arbitrarie. Sottraendo 
la seconda dalla prima e considerando che 
(/fc-j-w 1 ) r ‘—( k-\-u 2 ) r — ( U\ — u 2 ) \(k^u 2 ) r 1 -\-(k-\-Ui)(k-\-u 2 ) r 2 -J—( k-\-Ui) r *} 
= («! — u 2 ) \ t (/fc-f-M,) t>J ( k-\-u 2 y -fi , 
(*) Nella quarta parte di questa Memoria 
numerici. Vedi IV, 8,). 
si sviluppano serie più convenienti per i calcoli 
