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9. Vogliamo ora esaminare il significato, che acquistano le funzioni <b r (u ), 
quando il loro argomento assume valori negativi. Sia u = co — n , dove per co inten¬ 
diamo una frazione pura positiva, per n un numero intero positivo. Quante volte 
n », l'argomento co — n diviene negativo; ed è questo il caso che vogliamo con¬ 
templare. 
L’espressione 1) può prendere la forma 
n —1 
< P r (co — n) = lim log k — 
k —oo y o 
JHlìTL 
(h -f- co — n) r 
(h + 1 ) r ~ 1 
{h-\- co — n) r 
Nella prima delle 2, rovesciamo il denominatore quanto al segno, vi scriviamo k 
p er n — k, e trattandosi di una serie finita, la mettiamo fuori parentesi. Nella 
seconda scriviamo h per h — n , ed abbiamo 
O r (co — n) = — (— 1) 
n 
r y 
{n-k-ù-Xy- 1 
h (k — <w) r 
-}- lim 
k=-x> 
log Ar 
k 
_ V 
( h +1 d-Jr 1 \ 
(h -f- co) r Ì 
Sviluppiamo nella seconda serie il numeratore per potenze di k -{- 1, ed abbiamo 
tori 10 ) 
O r (co-n) = -{- ìyfj 
(n — k+iy- 1 
(k — w) r 
(£-f-l)>- 3 
(k + ©)•' 
32) 
relazione, i cui termini si fermano da sè. Le serie infinite che vi figurano sono 
tutte convergenti, per cui la funzione (P r (co — n) rimane perfettamente definita. 
Per r — 1 e r — 2, si hanno le relazioni note dai miei studi precedenti : 
®y(co — n)= f s + <*>«(«) 
n 
1 
n — k -f- 1 
{k— »)« 
-j- <P t (o>) — 
00 
+ *y- 
33) 
Alle serie infinite, che figurano nella 32), possiamo sostituire le derivate di funzioni 
d>(<u) con indice successivamente decrescente, per cui si ha 
<- ir t» (M (td+’r +?,(- 1 )• fr • 
— k (k — oo) r 
Se poniamo infine co — n — — u , si ha pure 
34) 
<M- ») - - I» ( ( ^t!!,7 + (- 1)‘ 7T - #). 85) 
il 
dove n è un numero intero, arbitrario, che possiamo prendere tanto grande che 
