l’argomento n — l rimanga positivo. Fintanto che u è un valore frazionario, l’espres¬ 
sione 35) rimane tutta finita. Ma se poniamo «« = 0,1,2,...»—1, vi è nella 
serie finita 
v ( a + ir 1 
T* (* — u) r 
sempre un termine, il cui denominatore va a 0, e rende con ciò infinita la funzione. 
B siccome n può avere qualsiasi valore intero, si conclude che le funzioni <P r (n) 
hanno valore infinito per tutti i valori negativi, interi, del loro argomento, compreso 
lo zero. 
Ma vi è un modo diverso di comportamento per queste funzioni, a seconda che r 
sia pari o dispari. Poniamo u +s al posto di m, dove per e intendiamo una quan¬ 
tità infinitamente decrescente. Il termine generale della serie finita ha la forma 
(* + i r - 1 
(k — u rt f) r 
la quale per u = k diviene 
( k -t- ir- 1 
(=^ S Y 
Questa ultima espressione assume i valori 
(a+ir - 1 
quando r sia pari e per t = 0, — oo r 
quando r sia dispari e per s = 0, zp oo ? 
Ne segue che, per valori interi negativi (compreso lo zero) del loro argomento, le 
funzioni <l> r (««) hanno un valore solo, — oo r . quando r sia pari, ed hanno dei valori 
— oo r e -f-oo r quando r sia dispari (*). Per tutti gli altri valori, negativi e non 
interi, del loro argomento, queste funzioni hanno valori finiti, espressi dalle relazioni 
32), 34) e 35). 
Dall’ insieme di queste osservazioni risulta, che tutte le relazioni svolte fin qui, 
e valevoli per le <t> r (u) con argomento positivo, valgono anche per le 0> r ( — u) con 
argomento negativo, non solo quando quest'ultimo sia frazionario, ma anche quando 
esso sia intero, nel quale ultimo caso si arriva a valori infiniti, come è naturale. 
IO. In conformità della definizione adottata per le funzioni <J> r (u). vogliamo 
esaminare il valore che esse acquistano quando il loro argomento divenga complesso 
e si trasformi in u-\-v\/ —1, u e v essendo quantità reali, d’altronde arbitrarie. 
Abbiamo 
<i>, 
(u + v (/— 1) = lim | log k — ^ h ì 
(h -j- «« -j- v y — i ) r ' 
Nella serie, che qui figura, moltiplichiamo numeratore e denominatore del termine 
(’) Al Gauss, che ha trattato le proprietà della funzione è sfuggita questa particolarità, 
che la sua funzione, per valori negativi interi di u, assume il doppio valore q= oc. Egli ha trovato, 
per essa, soltanto il valore — oo. Vedi Gauss Werke, voi. Ili, pag. 158 e seguenti. 
