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il valore più piccolo che i può assumere, quando s<3, il che è sempre possibile. 
La serie è quindi convergente. 
Allo stesso modo si dimostra pure la convergenza della serie seconda in 38), 
purché s <[ 2 ; il che è pure possibile. 
Sostituendo le 38) nella 36), si ha 
®r{u + V f/^T) = 4> r (u) + V r (u , V) + j/^T W r {u , v) , 39) 
equazione generale definita da serie convergenti. Scrivendo in essa —y al posto di y, 
si osserva che nelle 38) la W r (u . v) rimane inalterata, mentre la 9 s r (u , y) cambia 
di segno; per cui si ha 
4> r (u — v y^ì) = <P r (u) + W r {u , v) — W r (u , v) , 39,) 
quindi 
J 4>r(u + v \!— 1)4 -j&riu — V f — 1 ) = 4>r(u) + qS r( u i v ) 
_ _ _ 40) 
| 4- v V— 1) — J ®r(u — V 1) = t — 1 qi r{u , V) . 
11. L’equazione 39) con le 38), che servono a definire le funzioni ausiliarie 
9 s r (u , v) e 9 s r (u , v), vale dunque per tutti i valori reali, positivi e negativi, che y 
può assumere. Si vede facilmente che essa vale anche per valori negativi di u, 
purché frazionari. Il caso si complica quando si supponga per u un valore negativo 
e intero, perchè allora la funzione <P r ( M ) prende il valore — oo r quando r sia pari, 
e =poo r quando r sia dispari [forinola 35)]; mentre nell’espressione per ^ s r (u, v) 
vi è un termine che assume il valore + oo' quando r sia pari, e rtoo r quando r 
sia dispari. Abbiamo quindi una forma indeterminata, che importa esaminare. Trat¬ 
tandosi di funzioni sempre riunite, poniamo 
<*V(m) 4" q! r(u , v) = *P r (u , V) 
e domandiamoci che cosa divenga questa nuova funzione quando ad u sostituiamo il 
valore — n, intendendo con n un numero positivo intero. Abbiamo 
*P r (— n , V) = lim ) logA- 
fc= 00 ( 
f (4 + 1 Y-' ì , 
— h (4 - ^) r ) 
41) 
_i_ V i k I nr-1 eAk—n)»-' *>« + ••• 
~-<r hK 1 ' (A — n) r \_(k— y)* + y*] r 
Nella prima delle due serie vi è il termine, per h — n, e nella seconda serie, per 
Ic = n, che produce questi valori infiniti con segno contrario, per cui l'espressione 
rimane indeterminata. Leviamo dunque fuori questi due termini e calcoliamoli a 
parte. I due termini riuniti, tenuto conto delle 37), hanno l’espressione 
(A —n) r — ^ ) (A — w ) r ' 2 v* + ( £ ) (A — n ) r ~ 4 v 4 - 
[(A— n ) 2 + y*] r 
-( 4 +ir 1 
