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Scriviamo, nella 38), u ——ne consideriamo a parte il termine in cui k — n; tro 
viamo facilmente 
qi r (n , v ) = 
0 ì 
(* + l v - 1 + 
v r \ 
(,)(*- 
+ !> 1, de + ir-' —— 
n) 
r — 1 
■Q-' 
n y-z V 2 _|_ 
\_k — n) 2 -f- y2 T 
47) 
dove, come prima, il doppio valore posto nella parentesi j j si riferisce al caso di r 
pari e di r dispari. Anche qui risulta in modo speciale la diversità di comportamento 
per v = 0, perchè si ha 
per r pari, *P r (— n , 0) = 0 ; 
r—1 
per r dispari. *P r (— n , 0) = (— 1) 2 oo r . 
48) 
Dunque nel primo caso 0, nel secondo ztoc/. Si vede che, per y = 0, tanto la 
i P r (— n, 0) quanto la *P r (—«,0) possono andare all’infinito, ma non in pari tempo. 
Per r pari è la prima, per r dispari è la seconda che assume questo valore. 
Riassumendo, la relazione generale 39) si trasforma, per u = — n , in 
n-\-v ]/ — 1) = *P r (— n , v) -J- — 1 *P r (— n , v) , 49) 
dove le due funzioni ausiliarie *P r ( — n , v) e *P r (— n , v) hanno la loro espressione 
nelle relazioni 42) e 47), con cui il problema è perfettamente definito. 
14. Le funzioni ausiliarie ?V(w , v) e *P r (M, v) hanno anch'esse, come le d> r (w), 
un polinomio caratteristico rispetto ad u , espresso con funzioni n successive pura¬ 
mente algebriche. Poniamo, per brevità, 
n _ QM 4~ ^) 2r ~ 2 V* g«(£ + U) 2r ~ 4 V 4 H- 
* (k + u) r [(& -j- u) 2 -|- v 2 J 
Scriviamo inoltre nella prima delle 38), per u , successivamente 
u -f- n ,... -J- rn , 
e per k rispettivamente 
k , k — n ,... — rn. 
Abbiamo il seguente quadro : 
_ n—1 _ 2 w—1 _ <»_ 
«>,(»,»)=i, (*+ ir- u» + y, (k +1 r- 1 u,+• ■ + y, (*+1 r- u, 
50) 
*P r (u-{-n,v) = 
n 
2n—l 
rn 
y „ ( k + 1 — ny-' U* + • • • + y (k +1— ny- ' u ft 
n rn 
51 ) 
y ft (A+i-«r u*. 
m 
*P r (M-j-rw,y) = 
