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Moltiplichiamo lo singole equazioni, rispettivamente, per 
e sommiamo per colonne verticali. 11 primo membro prende la forma 
I, (— 1)' 0 ) ®r(u + in , v ). 
Nel secondo membro, chiamando le somme delle singole colonne verticali Ci,C 2 ,... 
C r , e» , l’espressione C, per la colonna i è data da 
_ in— 1 _ i— t , \ 
Ci = y s U* y, (- 1W )(k + 1 - kny-' , 52) 
pl,« » ' 
dove li è un numero d’ordine che va da 0 tino a i — 1. La somma di queste co¬ 
lonne verticali a serie finite è 
Ci + C 2 + • ■ • C r = Ci • 
Quanto all’ ultima colonna verticale, colle serie infinite, la C«>, basta ripetere il 
ragionamento del n. 5 per concludere che 
Cqo = 0. 
Per cui. riassumendo, si ha, per il polinomio caratteristico delle funzioni ip r (u,v) 
n successive rispetto ad u , 
fi(~ 1 )‘(\ ®Au + in , v) = |_i Ci , 53) 
il valore di Ci essendo dato dalle relazioni 50) e 52). Questa forinola ha molta 
analogia con la 24) per le funzioni Q> r {u) n successive; ed essendo 
d>r{u) + Wr{u , v) = V r {ll , v) , 
basta porre, in conformità della relazione 17), 
1 (k + u) r — (?c + u)'-* v*+ 
u* = u* 
[(& -{- u) z -f- v *] r 
(k + uY 
per avere immediatamente 
j_i (— 1 )' ( r ) ®r(u + in , v) = y i Ci , 
0 \ l ' 1 
54) 
in—1 i— 1 / t\ 
Gì = x* u* y h (- iy j (k +1 - jmy- 1 , 
essendo 
55) 
