Ad una espressione consimile si giunge anche per la *P r ( u , v). Ponendo 
si ha 
U*: 
+ 1 1 » — ( 3 ) ( /<J ^) r H ’ 3 + '" 
[(A + uf -j- v 2 ~\ r 
= <n - 1 = 4 - x / r \ 
c, = i, u» y » <-1 )'* (*)(*+i—*»r‘ 
Ì=T ,n 0 
Zi (— 1)*^) ®r(u + *» > y ) = f_i Ci • 
Queste formolo, alquanto complicate, si semplificano notevolmente per n— 1. Difatti 
si ha 
i. (- D* (') *>,(«+«,*)-1, u,_, |»(- i)‘( r Q (.•-*)-■ 
i, <- e 1 (') va »+<,»)= y, u<_i i» <-1 r Q (« - *r 1 67) 
ti (- o* (*J ) 5,<«+!,!>) = y ù,-, z» <-1 )* (*) (» - *)•-' 
relazioni che per r — 2 si trasformano nelle già note (') 
2 2 
9*. (« 7 ») - 2 <p 2 (« 4-1 , V) + V, (u + 2 , 9) =—- tgE-^ r 
V 2 (u , *) — 2^(u + 1 , v) -f V 2 (u + 2 , v) = 
Wt(u,v)— 2«*,(u+l ,v)+W ì (u-\-2 ,v) = 
~p U ) 
3 u 2 v 2 -f- v 4 
u 2 ( u 2 -f- V 2 ) 2 
2 uv 
(< u 2 + V 2 ) 2 
58) 
15. Le funzioni ausiliari e W r (u , v) e r (u , v ) sono definite dalle relazioni 37) 
e 38), e valgono per tutti i valori finiti di u e di v. Sotto questo aspetto esse pre¬ 
sentano un carattere molto generale. Ma vi sono casi in cui una soluzione più 
ristretta otfre vantaggi sensibili, per certi sviluppi e certe trasformazioni che faremo 
in seguito. 
Ritornando alla definizione delle funzioni </V(m), si può scrivere 
log k — y_ h (. h + ir 1 (ìi -j— u -J— v f-l)-’- \ 59) 
0 
<tf r (u -|- v y — 1) = lim 
ft=oo 
(‘) Vedi Mem. citata, pag. 530, forni. 26) e 29). 
