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e sviluppando con la forinola binomiale, poniamo di nuovo 
Q s r(u ,v) = v 
2 y (*+D 
—(k + u) 
r—ì 
r +2 
W r (u,v) = v 
f (£+ir’ 
— h {k-{-u) r+x 
Ur-f-l\ /r + 3\ v 2 , /r-j-5\ v4 
2 ì~\ 4 \ 6 ){k + uY 
(/> \ /r-j-2\ v 2 . /r + 4\ v 4 
(\1/ ~ \ 3 / (/£ + u) 2 + \ 5 /(& + w) 4 
GO) 
Lo sviluppo binomiale porta a serie infinite, ed è ammesso soltanto quando 
v<k + u; e siccome k può anche avere il valore 0, occorre, per la convergenza 
delle serie incluse fra le parentesi J {, che v<C.u. Rimane da vedersi se anche le 
espressioni 60) tutte e intere siano convergenti, essendo esse rappresentate da serie 
doppie infinite. Perchè ciò sia, è necessario e sufficiente che il termine generale, 
moltiplicato per {k l) s . dove s è un numero arbitrario ma >1, abbia per k= oo 
il limite 0 Possiamo quindi scrivere le condizioni di convergenza 
lini j | 
k=oo \ 
(*+ll 
r+ 2 i 
\k-\-u) 
‘ (£-|-l) 3 - s 
lim j | 
k= oo ( 
//r + n 
r 1 
\k -j- u) 
f (A+i) 2 - s 
r-f 3 
4 
Q't'M 
[(;) -ft*) 
y 2 
(k -f u ) 2 
v 2 
(k -f- u ) 2 
= 0 
= 0. 
60,) 
Ciascuna espressione contiene tre fattori. Il primo, quando r e u siano quantità 
finite, ha per limite 1; il terzo, quando v < u , ha per limite rispettivamente 
j e dunque una quantità finita; il secondo, infine, ha per limite 0, 
quante volte si ponga 1 < s < 2. Riassumendo, si ha che le serie 60) sono conver¬ 
genti, purché r,u,v siano quantità sfinite e si abbia v<^u. Questa ultima condi¬ 
zione rappresenta quindi una restrizione rispetto all'altra, fornita dalle relazioni 38); 
ma, come si vedrà in seguito, le 60) sono facilmente applicabili anche quando r sia 
una quantità nè positiva nè intera, e si prestano a riduzioni eleganti. 
Esprimendo nelle 60), termine per termine, mediaute le derivate delle d> r (^) 
si ha 
r -f- 1 
2 
(u , v) =— |y (P"(u) + |j- 4> ( r 4) (u) — ~ 0 ( r 6) (u) H-inf. 
W r (u , v) = -f- jy K(u) — Il ~ <P ( r 5> (u) — • • • » , 
61) 
relazioni che si ricavano anche direttamente dallo sviluppo di <P r (u-\-vj/ —1) 
mediante la serie di Taylor, e che valgono alle stesse condizioni di convergenza 
indicate più sopra. 
16. Le forinole 60) sono pure applicabili a valori negativi, frazionami di u. 
Ma quando u = — n , dove per n s’intende un numero positivo e intero, esse assu¬ 
mono forma indeterminata. In questo caso conviene ritornare alla 59) e scindere la 
somma ivi apparente in tre posizioni: una per il termine corrispondente a h — n , 
