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PARTE SECONDA. 
Le funzioni <l> r (u) coll’indice r reale, negativo e intero 
e coll’indice reale e frazionario. 
1. Le funzioni <P r (u) perdono il loro carattere di trascendenti e acquistano una 
forma più semplice, quando l'indice r sia reale, negativo e intero. Esse rispondono 
alla definizione 
i * 
4>_ r (u ) - - lim ' log/t— ^ 
k=00 ' 0 
(h, u)’ ) 
(Hir $ 
i) 
e pouemlovi u — I, e sottraendo da questa la nuova relazione, anche 
'l'-riu) = ■—A — 
y (*+ “Y — (*+P r 
V (A+ir 1 
2) 
La serie, che qui appare, è convergente, e per vederne il carattere puramente alge¬ 
brico, basta sviluppare il binomio 
(A -f u) r = [(A +!) + («—! )] r 
e porre, come già abbiamo fatto, 
si ha 
co 
y 
0 
(/r+1) 
7 == S> 
( P-r(u) = - A —■ 
( u 1J * Sj-n , 
3) 
dove i è un numero d’ordine che va da 1 tino are rappresenta quindi una serie 
finita. Questa equazione dimostra la natura algebrica della funzione <P_ r (u), quando r 
sia un numero intero. Ponendo r = 0,1,2 . si hanno le relazioni 
= — A 
( P-\{u) = — A — (u — 1) S 2 
<D_ 2 (u)=— A — 2{u — 1) S 2 — {u— 1) 2 S 3 
ecc., 
per cui si conclude che, con le coordinate cartesiane, la <£ 0 (m) rappresenta una retta, 
parallela all'asse delle ascisse; la < P_i(u ) una retta obbliqua; la < V_^{u ) una curva 
di secondo, la <t>_ r {u) una curva di r° grado: tutte passanti perii punto —A, che, 
per m= 1, hanno in comune. 
