— 588 
La relazione 2) può anche trasformarsi nel modo seguente. Ponendo 
{k + u) r — ( k -f- ir = (u — 1 ) } (k + 1 y~' + (k -f 1 Y ~ 2 (/c + U ) -}- • • ■ (k + uY ' 1 } , 
e considerando che, in termine generale, 
v (u) 
— i ‘(A+l)*- 1 * - l( ’ 
4) 
con facili sostituzioni si ha 
1 
</>_,.(«) = — A + (u — 1) Vt 
i ì 
5) 
Allo stesso modo, scrivendo r —1 al punto di r, si ha 
d>_ r+l {u) = —■ A -f- (u ,— 1) V. - <r>Li(u) 
~T~ i 
e, sottraendo 1’ una dall’altra, 
CP_ rH _,(?Q = <P_,(w)— --- <I>'-r{u ), 
6) 
relazione che ha perfetta analogia con la I, 5) e si deduce da questa, scrivendovi 
— r al posto di r. La relazione 6), come l’analoga I, 5), vale dunque per valori 
positivi e negativi di r. Ambedue conducono, per r = 0, alla forma indeterminata 
ma basta ricorrere alla relazione 4) o all’analoga I, 6), per vedere che si ha 
(Pi (lì) =— A -|- (w — 1) 
y 
i 
{k + 1 ) (k -f- u) 
7) 
Qui, al luogo della forma indeterminata -, è subentrata una serie convergente, per 
cui ogni indeterminatezza è tolta, e la 7) rimane perfettamente definita, come si 
può anche costatare direttamente. 
2. Dalle considerazioni del numero precedente risulta che esiste un passaggio 
non interrotto dalle funzioni <P,-(w) con indice positivo a quelle con indice negativo. 
A meglio dimostrarlo, scriviamo nella 6) successivamente r , r —1 ,... - - - -1 
al posto di r, e sommando queste espressioni abbiamo 
(P_r +>1 ( M ) = ®-r(«) — (u - 1) j ~ (Pi r{u) + + 
i , ; 8) 
+ w|> 
dove r e u sono numeri positivi, interi, d’altronde arbitrari. Fintanto che rY>n — 1, 
abbiamo una funzione <P (u) dall' indice negativo o dall’ indice 0 espressa con derivate 
di funzioni, tutte dall'indice negativo. Quando r = n— 1, l’ultimo termine prende 
