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la forma jj, ma il suo significato è dato dalla 7). Finalmente, quando r <^n — 1, 
si ha in via generale un termine intermedio dalla forma ^ , facilmente determina¬ 
bile, e si hanno le derivate di funzioni Q>(u) parte coll'indice negativo, parte col 
l’indice positivo. D’altronde la 8) ha perfetta analogia con la seconda delle I, 8), 
per cui si conclude che, per esprimere una funzione <£>( u ), si può prendere la mossa 
da un’altra coll’indice inferiore, e procedere per derivate di funzioni dall’indice 
successivo, senza preoccuparsi se queste abbiano 1‘ indice negativo o positivo. Così, 
p. es. per r = 2 , n — 5, la 8) si trasforma in 
<*M«) = — (« — 1) j j ®li (u) + ^ — j , 
dove la forma - ha il significato varie volte indicato. 
Ritorniamo ora alla forinola 1), e scrivendo in essa r—n al posto di r, lo 
diamo la forma seguente: 
, / x < , , s~ (h + u) r I . u —l\ n ) 
=ìm. | log k - >» jÀ+ir 1 ( 1 ~ à+s ) r 
Sviluppando il binomio alla n a potenza, e considerando che, in via generale, 
y (k -f- M) r ~* _ (r — i) ! 
V(* + l ) r+1 
con facili sostituzioni si ha 
») 
«-««(*) = !,(-!)' ( *) (u — 1 )< (») , iU) 
0 ' • \ * / 
equazione che ha perfetta analogia con la I, 10), bastando scrivere — r al posto 
di r, per trasformare l’una nell’altra. Anche in questa relazione, che procede per 
derivate successive di una sola funzione <J>_ r (w), uno o più termini possono apparire 
sotto la forma jj, ma col mezzo della 9), ritornando indietro, l’indeterminatezza 
può essere facilmente tolta. Così si hanno, a titolo d'esempio, per r = 0 e r— 1 
le relazioni 
— — ■ A -f- 
0-4 
(A + i )- 1 
H [k -f- u) 1 
- 0-4 
(&+ 1)- 1 
H {k -f- uY 
+ 
(-n”C) (*-ir ì 
(*+!)- 
ft {k-\- u) n 
10 ,) 
71 
<P n -i(w) = — A + (n— 1) (u— 1) -q 
(/g + i r 
-( 2 ) <— i»^ - ( - 44- "" I 
4 + i)-* 
(k-\-u) n ~ x 
relazioni perfettamente definite da serie convergenti. 
