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3. Come le funzioni tfV(^), anche le tfL. r (w) possiedono un polinomio caratte¬ 
ristico per tutti i valori interi di r. Ritorniamo alla forinola 3) e scriviamo succes¬ 
sivamente u , u -f- n ,... u -f- rn al posto di u. Abbiamo le equazioni 
= - A - j_i r ) (u - 1 y Bui 
(D_ r (u -f- n) = — A — ^ ) (u — 1 -f- nY S,vi 
+ rn) = —',A — V | 'j ) (# — 1 + r nY Sj+i • 
Moltiplichiamole rispettivamente per (—l) r ^ / j, e sommiamo per 
colonne verticali. Il primo membro ci dà il polinomio caratteristico 
£, (-od A #-,(«+**). ut 
0 \ * / 
La prima colonna a destra si annulla, la seconda prende la forma 
— f-i ) Si ' +1 1 (o) ( w “ 1)4 ~ (i ) ( M “ 1 + n )*’ + • • ' (— 1 Y ) ( u — 1 + rn Y ì • 
Sviluppando i singoli termini secondo le potenze di (u —1), si arriva, per la 
espressione posta entro parentesi j j, a serie finite della forma generale 
(l) (M_1)< '"’ , "( 0 "(o) _1 ’(l) + 2m (2)-(-l) r r"(^)|, 
dove m è un numero d’ordine, che va da 0 tino a i , mentre i va da uno fino a r. 
Questa serie binomiale, generalmente parlando, è, in conformità della I, 21), =0; 
soltanto nel caso estremo di m = i e di i = r, secondo la I, 22), essa è uguale a 
(—1 Yr\n r . 12) 
A questo valore va estesa la somma (negativa) di ma pei il solo valore 
di i — r\ per cui, riassumendo i risultati delle 11) e 12). si ha 
y / \ 
\ (— 1W \ ) ( I>-r {u + in) = — (— 1 ) r r ! n r S r+1 ; 13) 
relazione elegante, che dimostra come il polinomio caratteristico delle <V_ r {u) n sue 
cessive sia una quantità costante. Per r — 1 , r = 2, la 13) si trasforma in 
(u) — #_i (un) — — wS 2 
d^_2 ( u) — 2(f ) _2 (m -{— n) ~(— dà_ 2 (u -j- ‘in) = — 2w 2 S3 ; 
14) 
relazioni che si deducono facilmente in via diretta. 
