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Alla relazione 13) si può dare anche forma diversa. Ponendo in essa u -f- n 
al posto di u , i al posto di i -j- 1, si ha 
r-+-i 
i 
Nella 2, che qui figura, si può scrivere senz’altro, al limite inferiore, 0 al posto 
di 1; come nella 13). al limite superiore, si può scrivere r -\-1 al posto di r, perchè 
ambedue questi termini si annullano da sè. Sottraendo l’una espressione dall’altra, 
si trova 
!,•(—!)*( ■ ) -j- in) — 0 , 15) 
altra forma rimarchevole del polinomio caratteristico. Per r = 0 . 1 . 2, si ha 
+ in) = ■— ( — 1 ) r r \ rì' S,. 
— (I) o{u -f n) = 0 
<£_,(w) — 2<P_,(w -{- n) ~\- -f- 2 n) = 0 16) 
fP—2 (u) — 3d>_ 2 (M —(~ 71) —j— 3 (P_ 2 (m —{— 2 ti) — (u —j- •hi)() 
relazioni facili a trovarsi in via diretta. 
4. Ritorniamo alla forinola 1). ed esaminiamo il significato che acquista, quando 
al valore reale u si sostituisca il complesso u -j- vf — 1 , u e v essendo quantità reali. 
Sviluppando l'espressione 
[k u-\- v )/— 1)'’ 
per potenze di h-\-u, e ponendo 
W_ r (u . v) = v 
W_ r {u , v) — — V 
„ ( 2 ) (*-f)(*+»)-•-*#*+ ^) (k+uY-‘v< - 
— k (&+ l ) r+1 
([)(& + uy - 1 - ( 3 )(k + u )^^) (k + u )^ — 
V £ (k + \y+' 
17) 
dove , v) e *P_ r (u,v) sono funzioni ausiliarie definite da serie, sempre con¬ 
vergenti, e che si fermano da sè per valori interi di r, si ha 
<I>^ r {u + v )/ — 1) = <I>-r(u) -f- *P-r{u , v) ) ' — 1 4f_ r (M , v) , 18) 
relazione che ha perfetta analogia colla I, 39), valevole per valori positivi interi di r. 
Se nelle 17) si pone —y al posto di v, la prima di esse rimane inalterata, la 
seconda cambia di segno, per cui la 18) diviene 
— V y — 1) = £>_,-(& 0 -f- , v) — y — 1 , v) . 
Per il caso, che u divenga negativo, abbiamo nella 18) tre funzioni distinte da 
esaminare. La <I>_ r (u ), come appare dalla 2) e meglio ancora dalla 3), per valori 
