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negativi di u conserva il suo valore finito, anche quando u abbia un valore negativo 
intero. Allo stesso risultato si giunge anche per le funzioni ausiliarie i P_ r (— u , v) 
e *P_ r (— u,v), per cui si conclude che la 18) vale per tutti i valori positivi e 
negativi, interi o frazionari di u. 
Le relazioni 17) assumono anche la forma 
d s _ r (u , ®) = 
.,y C k-\-u) r 2 (/r\ /r\ v 2 (r\ v 4 
V* (k + 1 ) r+I ì \2 / \4 J (le + uf ^ \6 f (k -f uy 
20 ) 
r \ v x i 
5 ) (k + u) 4 r 
Siccome, per valori di r interi, le serie entro parentesi J [ sono finite, esse 
non vanno soggette a ulteriori condizioni di convergenza, e la forma 20) è identica 
alla 17). In questa forma presentano grande analogia colle I, 59) valevoli per va¬ 
lori positivi di r. Le une si trasformano nelle altre, salvo le condizioni per la con¬ 
vergenza, che possono occorrere, ponendo —r al posto di r. 
Alle 20) si può infine anche dare la forma 
d s ^ r (u , v) = — v 
V 
o 
(*+ uy- 1 j 
(£+!)-> ( 
(;)-(;)«*?+( 
V-r(u , V) = - £ ^r(u) + ~ *£(U) ~ £ *%(u) + • • • 
V-r(u , V) = + <t>’_ r (u) — ~ 4>%(u) -f ~y d><S(U) - 
21 ) 
forma perfettamente analoga alla I, 61), alla quale si arriva anche direttamente, 
sviluppando la funzione 
<M» + » = <*!(«) + yt f /=r ì - ff V-M - 
• 
col mezzo della serie di Taylor, la quale si ferma pure da sè. Giova osservare che, 
per r = 0, si ha _ 
<2> 0 (m -t- y t/ — 1) = — A , 21,) 
valore che concorda con quello trovato I, 63,). 
5. Vogliamo ora esaminare il significato che acquista la funzione <t> r (u ), quando 
all’indice intero r si aggiunga la frazione pura q. Abbiamo 
(h _i_ ] y—i+p \ 
=inn ; log k - 1 „ | ■ 22) 
11 termine generale della serie, che qui figura, tende al limito 0. Infatti, derivando 
numeratore e denominatore r volte rispetto a le, si ha 
_?— li m £---^ — o 
La serie, a partire da un certo termine in poi, è dunque decrescente e i suoi ter¬ 
mini tendono al limite 0. Il che non vuol però dire, che essa sia convergente. 
