Chiamando per brevità 
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T r il termine generale corrispondente a 
T r +p n n * @ r+ p(u) 
T r+1 » » ” Qr+iiu) 
ossia 
V 
(£4-1 ) r -‘ 
(k + u) r 
ed eliminando dalle due ultime espressioni la quantità 
lazioni 
si hanno le re- 
23) 
dalle quali apparisce che, come r -\-q è compreso fra r e r+1, anche il valore 
TV+p è intermedio fra T,. e i quali sono i termini generali di due serie diver¬ 
genti. Ora, trattandosi di serie con termini tutti dello stesso segno, anche la serie 
in 22) è divergente, e l'andamento della <l> r +p(u) deve essere intermedio tra quelli 
delle funzioni <Z>,.(m) e #,-+,(«)> ed ha, come queste, valore Unito. Per trovarlo, po¬ 
niamo nella 22) u— 1, e sottraendo si ha 
(k + uY+P — (k -j- l) r+ P 
{k + 1) {/c + uY + ? 
24) 
È facile dimostrare, che questa serie, anche cogli esponenti frazionari, conserva 
la sua convergenza. Secondo la serie di Taylor, valevole per funzioni continue, come 
lo sono le (t> r+? (u) per valori positivi del loro argomento, si ha 
{k + zz) r +P = (k + 1 + u — l) r+ P 
= (&4- i) r ^p 4- (u— i) (?*4-e) {k 4-1 4- u(u - i)) r+ p->, 
dove per 0 s’intende una frazione pura, che non occorre ulteriormente determinare. 
Per cui la 24) si trasforma in 
rfWp(?z) = — A 4~ (w — 1 ) (r 4~ q) 
1 
(k+\y 
u — 1 \ rH -P~‘ 
k 4-1 /_ 
u — l; r +P 
k 4-1/ 
Per riconoscere, se questa serie sia convergente, basta moltiplicare il termine 
generale per (k 04 s essendo un numero arbitrario ^>1, ed è necessario e suffi¬ 
ciente, che tale prodotto, per k = oo, abbia per limite 0. Si ha quindi la condizione 
di convergenza 
la quale condizione è sempre soddisfatta, quante volte u e r siano quantità finite, 
Classe di scienze fisiche — Memorie — Voi. XI, Serie 5*. 77 
