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e complessi per tutti i valori negativi e frazionari del suo argomento. Nel caso che /? 
o _ 2 
sia dispari, vi è un valore di X' =—-—, per il quale si ha 
Z 
(£+ l) r -'-P 
+ </>„„(- *) -£, ^ - <-1 r* I, (u _ kr +t + 
+ v 
(k — u) r+ P — {k + l) r+ p 
41) 
rkZ (A + 1)(A — M)^ 
e questa è la sola espressione finita e reale. All'incontro, quando sia pari, non 
esiste alcun valore di X ', che renda reale la 40). In altri termini, per valori fra¬ 
zionari di u , la funzione <P r+ p(— u) possiede sempre valori finiti ed anche un valore 
reale nel solo caso, che /? sia dispari. 
Ponendo infine 
<*W(- «)) - f /V +P ((l)) = ^ P ((- u)) , 42) 
e avendo presente la 31). si ha 
zf r+p ((— «)) = J A + <P r+p (- u) |, 43) 
equazione analoga alla 33), la quale per valori negativi di r e di q si trasforma in 
^_r- P ((— «)) = | A + d>_ r _p(- u) | , 
essendo 
A + a> -f-p( u ) Zk ( i y e (2X+1)7rp,/ 1 Z* )r+i+p + 
0 
oo 
X 
__ li 
m- i-l 
(k -j- l) r4 'P — (k — u) r+ ? 
(k -j- l) r+1+ P 
44) 
equazione, per la quale valgono le stesse considerazioni, che abbiamo fatto per la 40), 
ma che conserva forma finita anche per valori interi di u. 
8. Vogliamo ora estendere la relazione 33) al caso di argomenti complessi. 
Scrivendovi u-\- v \/— 1 al posto di u , dove per u e v intendiamo quantità reali, 
d’altronde arbitrarie, abbiamo 
z/ rH . p ((M -f- v ]/— 1)) = e 2X7T P^~ l j A + <2> r +p(w + v |/— 1)(, 45) 
e si tratta di trovare l’espressione corrispondente a <b r+p (u-\-v]/ —1). Il procedi¬ 
mento è analogo a quello usato in I. n. 15; basta cioè scrivere nelle forinole 59) 
e 60) u -{- q al posto di r. Trattandosi di sviluppi binomiali in serie infinite, occor¬ 
rono condizioni di convergenza identiche a quelle ivi trovate. Ponendo quindi 
*P r +p(u,v) = v 
(Hir^ j/r+l + g 
—*{k +m)^ 2+ ?(\ 2 
r-j-3 
4 
V r+P (u,v) = v 
V (Hir K P (/>- + g\ 
—{k + u) r +'+P ( \ 1 I 
^ 4 - 24 -^ 
y 2 
(k 4- u ) 
y 2 
(/r 4- u) 
ì H— i„f* ì 
; 4- • • • inf. |, 
46 ) 
