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Colle relazioni parziali 48,), 48„), 48,„) il problema posto nella 48) è risoluto. 
Ponendovi q = 0, si ritorna facilmente alla I, 62,) ; ponendo invece n = 0, si ha 
ow P (y y— T) = s; — 2-^p - f i — ) + ? ) s ; +1 - 
\{ l ) 2 ( —i( 4 X'H-l)WpP-l 1 
r-t-1 
(- D* Y-1 
~ (* + iri*p r. 
49) 
relazione per la nostra trascendente con argomento puramente immaginario, e che 
per (j = 0 si trasforma facilmente nella 1, 03). Finalmente, per r= 0, la 49) si 
trasforma con breve riduzione in 
® P (»V-1)=— A —1,( ! ' t . ? )(— 1)’s,+, 
—-ì-UX'+l >irpp-l 
e 
1 
yP 
+z 
_1_ 
k?{k + 1)‘-p 
(Rh -f- ti* y — i), 
49,) 
dove R ft e R), hanno i valori più sopra indicati, ma per il caso speciale che r — 0. 
PARTE TERZA. 
Le funzioni <P r (u) coll’indice r complesso. 
1. Vogliamo ora esaminare il significato, che acquistano le nostre trascendenti, 
quando all’ indice reale r si sostituisca uno complesso, della forma p -j- q ]/■— 1 , 
dove p e q rappresentano quantità reali, d'altronde arbitrarie. Ritornando alla defi¬ 
nizione di que-te funzioni, abbiamo 
Q> 
p+qV 
-(w) = lini j log k — 
k—'rj ( 
{h + ) 
— h (h -f- uy + i v - 1 r 
i) 
Conviene rammentare, che il termine generale di questa serie assume valori molte¬ 
plici, anche quando p sia un numero intero, e che esso prende la forma 
(k + 1)p~ 1 // £+ l \y/=I ( k+ ì)^ - 1 
(k -f- uY 
(k -f- u) p 
((cos qq - ]/— 1 sen qq)) 
in cui 
(n> ~ [ U \ ' - 
) -f 2/m y —1 quando k -(- u sia positivo 
? = log(^— |^y) + ( 2 ^ + DTrJ— 1 » 
2) 
» negativo, 
