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f-t essendo un numero intero completamente arbitrario. Il primo caso qui contemplato, 
die cioè k-\-u sia positivo, avviene quante volte u sia positivo ed anche quando u 
sia negativo e numericamente minore di k. Il secondo caso, di k -f- u negativo, 
avvieue limitatamente quando u sia negativo e numericamente superiore a k. 
Vogliamo, per ora, lasciar da parte la molteplicità dei valori, che risulta nelle 2) 
dalla presenza di ^ e supporremo per q il suo valore reale, che si ottiene per k-\-u 
positivo, ponendo /x — 0. Sostituendo le 2) nella equazione 1) e rammentando che 
cos qq = 1 — senv qq , 
si ha 
+ 
( 
oc 
y 
— k (k -f- u) p 
senv 
®p+ q Y-\ M — QpW) ~h 
k —}- 
/£+!/_ 
q 1 °; 
'( 
-j- y — 1 sen 
3) 
Prima di proseguire, vogliamo esaminare, se la serie complessa che qui figura, 
sia convergente. Essa è decrescente, e per la sua convergenza è necessario e suffi¬ 
ciente, che sia soddisfatta la doppia condizione 
ft=<» ( (k u Y 
*-( [k + u)v 
senv 
sen 
dove $ rappresenta un numero arbitrario >> 1. Queste due espressioni hanno pure 
la forma 
e si tratta di vedere, se e a quali condizioni siano =0. La quantità 
k + 1 
ha, 
K k -f- u 
per k = oo, il limite 1 per tutti i valori finiti di p e di u. Il secondo fattore, che 
figura in ambedue le espressioni, prende la forma indeterminata jj. Ma derivandone 
partitamente numeratore e denominatore rispetto a k, e sostituendovi il valore nelle 4). 
queste si trasformano in 
S - 1 ( \k + U) 
sen 
'«*(!£)] 
{k -j- 1 ) 2 - s 
lim s (fivr 1 
s — 1 ft=oo ( \k -j- u ! 
~IW£f)1 / _ 0 
(k -f- 1 ) 2 ~ s ) 
