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è finita per il solo caso che /n — 0 e X — 0, con cni si ritorna alla 3). Ponendo 
nella 12) u= 1, a sottraendo l’una dall'altra e inoltre ponendo 
V, «»»=| 
si ha 
^ S< ^I ((“» = | A + <P Mf/ - (a) | 13) 
con valori tutti finiti e complessi per tutti i valori di X e per tutti i valori di /t. 
Quando u sia negativo, per valori interi, compreso lo zero, si va a valori infi¬ 
niti. Ma per per valori negativi e frazionari di u, giova avvertire che nella 6), per 
uno o più termini la differenza k — u diviene negativa; per cui bisogna in tale 
caso scrivere 2fi -J- 1 al posto di 2/u, quando quella differenza è sotto il simbolo 
logaritmico e 2A —|— 1 al posto di 2X , quando essa è elevata alla potenza jo. Chia¬ 
mando m un numero intero, in modo che m <C.U <^m1, conviene scindere la 
serie in due parti: una che va da 0 fino a m , l’altra da m -J- 1 a co, Supponendo 
quindi anche p frazionario, si procede come sopra e si hanno ie relazioni 
(( - u)) = (1 — log k -J- .4) ^ (— u) 14) 
<( “ a)) = 1A + (- ») i 15) 
equazioni perfettamente analoghe alle 12) e 13), e nelle quali 
^ Qfr + i )?- 1 
— (u — ky 
■nq+tfV+\)Kj>Y-\ sr 1 ( 
o (« — fc)P ( 
, / u—k\ 
L* 1,g (*+i)_ 
— y —1 sen 
[>«( A+1 )] 
+ è<*—HT 
. Ik — u\~ 
j ,og U+iìj 
—}— //—1 sen 
~ ik — u\~ 
X' essendo, come X , un numero che va da 0 fino a p — 1, dove § rappresenta il 
denominatore di p ridotto alla sua più semplice espressione. In vari casi conviene 
mantenere X' indipendente da X; per cui la 16) conserva ancora un carattere di 
molteplicità, che scompare quando vi si ponga X r = 
0, od anche X' — 
P — l 
2 
, quando 
§ sia un numero dispari. 
Le forinole fin qui sviluppate, dalla 3) alla 16), valgono per valori interi e fra¬ 
zionari, positivi e negativi di p e di q , ed ammettono facili trasformazioni, come 
si può verificare senz’altro. 
4. Ritorniamo alla 3) e sostituiamo all’argomento reale u il complesso u -J- v J—1, 
intendendo con u una quantità reale positiva e con v una quantità reale, positiva 
o negativa che sia. 
