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Riassumendo si ha 
° P *qV~M + v V~ 1 ) = <D p( u ) + I óp( u » ») + ’ *>) + fl p(« . v ) I 
+ j a p (u , v) + W p {u , y) — Si p (u , y) ( )/— 1 
equazione generale, che esprime il valore delle funzioni <P con indice e con argo¬ 
mento complesso. 
Quando u sia una quantità negativa e frazionaria, si osserva che l'espressione 
k—u per uno o più termini diviene negativa. Per questi termini, le 17) devono 
sostituirsi colle seguenti: 
e la 19) si altera soltanto, per dovervi scrivere —V ft al posto di V*, e bene inteso. 
— u al posto di u. La serie 19,), e quindi le serie 20) e l’espressione 21) che ne 
sono una conseguenza, si scinde in due porzioni: la prima per la quale k — uè 
negativo, la seconda perla quale k—u è positivo. Alla seconda porzione si appli¬ 
cano le 17), la 19) e la 20), alla prima invece le 17,). 
5. Prima di proseguire, vogliamo esaminare, se e a quali condizioni le serie 
contemplate nelle 20) siano convergenti. Prendiamone la prima, alla cui convergenza 
è condizione necessaria e sufficiente, che essendo s un numero arbitrario 1, si 
abbia 
Il primo fattore, che qui figura, ha per limite 1, quante volte p e u siano quantità 
Unite. Giova poi avvertire, che giusta le 17) e la 18), lim U* = lim V ft = 0 per 
k = oo., e che, per condizione, s >• 1. Il secondo fattore assume quindi la forma -. 
Ma derivandone paratamente, rispetto a k, numeratore e denominatore, esso prende 
la forma 
I quozienti algebrici, che entro le parentesi ) ( figurano moltiplicati rispettiva¬ 
mente per (1 — u) sen U* e per ycosU/ { , hanno per k = co la forma 82. Ma me¬ 
diante una doppia derivazione, rispetto a k, applicata ai loro numeratori e ai loro 
