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denominatori, si vedo subito, che per k = oo assumono ambedue il valore 1. Per 
cui tutta l’espressione prende la forma 
q i / \ \ 
yZT s — u ) sen U ft + v cos U ft ) ( = 0 
relazione che snssiste, quante volte l<s</2, e q,u e v siano quantità finite. Si 
conclude che la prima delle serie in 20) è convergente, purché u,v,p,q siano 
valori finiti. 
Con lo stesso procedimento si arriva, per la seconda delle 20), alla medesima 
conclusione. E col ragionamento usato nel numero I, 14, si conclude poi la conver¬ 
genza delle rimanenti quattro funzioni in 20) alla condizione che u , v , p siano 
quantità finite e che inoltre u > v . 
Riassumendo questi risultati parziali, si ha, che la espressione 21) è valevole 
per tutti i valori finiti di p,q, e per tutti i valori finiti, positivi di u e v, purché 
u^>v. Per ì valori negativi di y, basta avvertire che la quantità Us rimane inal¬ 
terata e che la quantità V* cambia soltanto di segno, come cambiano pure di segno 
due delle funzioni ausiliarie, la 9 s p (u , y) e la Sì p {u , y). Basta dunque scrivere nelle 
20) e~ Yh al posto di e Vk , e cambiare il segno alle due funzioni ora nominate, perchè 
la 20) e la 21) siano immediatamente applicabili al caso di y negativo. Non occorre 
forse soggiungere, che tutte le serie conservano la loro convergenza. 
Per il caso speciale di v = 0 si ha 
D* = £$?) . V ‘ = °- 
Sono pure eguali a zero le quattro ultime funzioni ausiliarie in 20), per cui l’espres¬ 
sione 21) ritorna alla più semplice 3). 
All’incontro, ponendo ^ = 0, si ha Ufc = V s —0, e delle sei funzioni 20) le 
prime due e le ultime due scompaiono. Colle rimanenti due si ritorna alle I, 60). 
0. Abbiamo veduto, come l’equazione 21) e le 17), 18) e 20) che l’accompa- 
gnano, colle avvertenze indicate nelle 17,), valgano anche per valori negativi fra¬ 
zionari di u. Ma quando u sia un numero negativo e intero, compreso lo zero, le 
funzioni ausiliarie 20) prendono forma indeterminata e cessano di essere applicabili. 
Vogliamo quindi cercare in via diretta il significato della funzione 
<t> P+g Y-A- n + y V^) 
quando in essa n rappresenti un numero positivo e intero, compreso lo zero. Giova 
ritornare alla formola 19), porvi u = — n, estrarne il valore corrispondente a k — n 
e scindere la serie rimanente in due porzioni, corrispondenti ai valori di k inferiori 
e superiori a n. Il calcolo va condotto come in II, 48), traendo conto dei risultati 
ivi ottenuti per la funzione 
n -}- v ]j—■ 1). 
