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numero intero, q una frazione pura, della forma —, a e § essendo numeri primi 
P 
relativi. Nella 25) il primo termine è indipendente da p; il secondo contiene la 
funzione ® ~Y V Y — 1) c ^ e diviene nuovamente molteplice, per rapporto a p , 
in tutte le funzioni che vi sono comprese. Esaminando la 21), si vede difatti che 
la 4> p (u) diviene molteplice ed è espressa dalla forinola II, 80). Divengono parimenti 
molteplici tutte le funzioni ausiliario 20), ed il loro valore si esprime moltiplicando 
ciascuna per e ìXn P' t/ ~ l 5 cui A è un numero arbitrario, che va da 0 fino a § — 1. 
Per la funzione ^ p+q yz[( u ~h v Y —1)» divenuta molteplice rispetto a p, si ha 
quindi 
,1 _ 4 «^) log A + ^ qV - (u + * I'=T) 
ìizzzco 
e sostituendo questa espressione nel secondo membro dell'equazione 25), si ottiene 
facilmente 
(t> 
p+qV -1 
((U -)- V )/ - 1)) == (1 - e ZTt([>.q+\pV-ì'>} log k 
o 
+ (u + vY— 1) 
26) 
equazione, che esprime la doppia molteplicità della nostra trascendente nella sua 
forma più generale. 
8. La perfetta analogia della 26) colla 12) non ha bisogno di essere ulterior¬ 
mente chiarita. Ma la 26) ha naturalmente carattere più generale, perchè si riferisce 
ad argomento complesso, mentre la 12) contempla solo il caso dell’argomento reale. 
Ponendo v = 0, la 26) si riduce alla 12). 
Come nella 12), nella soluzione generale 26) la nostra trascendente appare 
formata di due termini: l’uno che per k — oo diviene infinito, tranne il caso, che 
A = 0 e fx = 0. In questo solo caso quel termine si annulla, in tutti gli altri esso 
diviene infinito complesso. L'altro termine, nel caso di A — 0 e = 0, si riduce 
alla funzione semplice, ma anche negli altri casi, per tutti i valori che A può assu- 
mere ^pper tutti i valori di p , esso conserva il carattere finito e complesso. Ponendo 
nella 26) u — 1 , v = 0, tenendo conto della 5), e sottraendo la seconda dalla prima 
equazione, si ha 
Qp+qV -1 (( u + v V— 1 )) ~ Qp+qV^l (l 1 )) = 
i _ 27) 
= 15 {A + (u + v ]/- 1)}, 
ossia 
((“ + » f /Ir h> = + » V- T), 28) 
dove la nuova funzione A ha il significato già varie volte indicato e facile a vedersi. 
La funzione 
J p +q Y-i({ u + v Y~ 1 )) 
Classe di scienze fisiche — Memorie — Voi. XI, Ser. 5 a . 
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