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ha la proprietà rimarchevole, di possedere valori finiti, per tutti i valori, che X può 
avere e per tutti i valori finiti di /x, e differisce in ciò essenzialmente dalla funzione 
-f- ^ |/— t)) 
la quale ha tutti valori infiniti, tranne uno che corrisponde a A = 0 e /x = 0. Lo 
studio della molteplicità dei valori riesce quindi più interessante per quella che 
per questa, e in tesi generale la funzione 4 ha un carattere più generale della fnn- 
zione <X>, qualunque sia il valore del suo indice e del suo argomento. 
PARTE QUARTA. 
Calcolo numerico delle funzioni <P r (u). 
1. Le formolo sviluppate nelle tre parti precedenti, sono sempre espresse da 
serie convergenti, le quali, esatte per sviluppi teorici e per le conclusioni, a cui 
conducono, non si prestano, causa la loro poca convergenza, ai calcoli numerici. 
Vogliamo ora trasformare le principali in modo, che divengano atte a tali cal¬ 
coli, mediante serie più rapidamente convergenti, entro quei limiti per i valori po¬ 
sitivi e negativi del loro argomento, che può interessare di conoscere. 
La trascendente d> r (w) è definita dalla serie convergente 
<M1 + u ) =— A 5.* 
(& + u) r — k r 
k{k -j- u) r 
*> 1 
— A + £ì 
1 — 
1) 
Sviluppando l’espressione mediante la forinola binomiale, il che è sempre ammesso 
IL 
purché — 1 <-<-}- 1, ossia purché — 1 <C u <C + 1, essendo k = 1 il valore 
fC 
più piccolo che k può assumere; ponendo inoltre per brevità 
i* = 1 + è+ h +" ' inf - =Si 
4 à = 1 + b + h +■■■*= s > 2 ) 
® i li 
V —=1 ——L A—j_ . 
2 
= S,- 
si ha 
d>,(l + a) = -A + (^»S,-^ + l )» ! S 3 + ( r + 2 )» I S.. 
• • • inf. 3) 
