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La serie è poco convergente, perchè i coefficienti S 2 , S 3 , S 4 , ... tendono verso l’unità, 
rimanendole però superiori e perdi è i coefficienti binomiali crescono rapidamente, 
specialmente quando r abbia un valore un po' grande. In questa forma essa non 
sarebbe quindi atta ai calcoli numerici. 
2. Si può dare alla serie 3) una forma assai più convergente, partendo dalla 1) 
e scindendo la serie ivi contenuta in due porzioni: una, finita, che va da k — 1 
fino a k — n , n essendo un numero qualsiasi, però finito, intero e positivo; l’altra, 
infinita, che va da k = n-\- 1 fino a k = oo. E procedendo col medesimo sviluppo 
binomiale per la porzione infinita della serie e ponendo per brevità e per analogia 
_A + ?‘T = “ A + 1 + ì + ì + "k = sì "’ 
1 ] 1 1 
¥ = (#+ \Y + (n -f* 3)* + (n -j- 3) 2 + ' ll,f 
- 1 1 1 1 
n —* ¥ = (n -f 1 ) 3 + (7-|- 2) 3 + {n -f 3) 3 
\ _L_i_- i -L- - - _L -— i - _)_ „ — fit») 
abbiamo 
n k r ~ l 
+ ( ’J ) * sr» - ( r + 1 ) u> sr +1/' + 2 ) e si » 1 — inf. 
u 
Anche questa serie è convergente, purché —1 <[ -J— — <11 ; ma siccome k — n- 1-1 
rC 
è il più piccolo valore, che k può assumere, basta alla convergenza della serie in 5), 
che — n —Sono con ciò notevolmente estesi i limiti per w, entro 
i quali la serie conserva la sua convergenza, ed essendo n un numero arbitrario, 
che si può far grande quanto si vuole, ne segue che colla 5) si possono calcolare 
i valori della nostra trascendente per qualsiasi valore di u , positivo o negativo 
che sia. 
1 coefficienti S^ n) , S^ n) , S^' l) ... decrescono ora rapidamente, specialmente quando 
n sia un numero grande. Tuttavia non conviene esagerare il valore di n , perchè se 
è vero, che con grandi valori di n diminuisce sensibilmente il numero dei termini 
utili nella serie infinita, cresce invece il numero dei termini nella serie finita 
^ k r ~ l _ l r ~‘ 2 r ~ 1 3* - - 1 n r ~ l 
— n {k -{- u) r (1 -f- u) r (2 -j- u) r ’ (3 -j- u) r ' (n-\- u) r 
termini talvolta noiosi a calcolarsi. Per non dovere esagerare il valore di n , con- 
