- 612 — 
viene in pratica mantenere per u limiti ristretti, e scegliere per n un valore in giusta 
relazione col valore dell’indice r e coi coefficienti binomiali ' c ^ e 
ne dipendono. 
3. Ai grandi valori di ) che possono interessare, si può provvedere con 
una forinola diversa. Scrivendo nella 1, 12) 1 -j -m al posto di u, m al posto di n, 
k al posto di k -}- 1, si ha la relazione 
d> r ( l -j- m -f- u) = G>r ( 1 -f u ) -f- 
^ k r ~ l . “ r- 1 — (k —- mY - 1 
(k + uY + *4* (k + uf 
6 ) 
Anche qui conviene scindere la serie infinita in due porzioni: una, finita, che va 
da k = m -f- 1 fino a k — n, essendo di nuovo n un numero positivo, intero e supe¬ 
riore a m: l’altra infinita che vada k = n- f- 1 fino a k — co. A quest’ultima por¬ 
zione si dà la forma 
V — (A — my - 1 i u\- r _ 
ài* V \ 1 ’ k) ~ 
y k r ~ l — {k —w)’ -1 \ l r \ u i /**+ 1\ 
“il* * ( 2 I 
e ponendo per brevità 
tr 
~k* 
inf. 
V. k ’-' , f 
rt 
k 
n-f-i 
n-M 
00 
\ 
n-+-l 
_fe 
k r ~ l 
— ik — 
- mY~ l 
k r+l 
k r ~ l 
— (k — 
■ mY~ l 
k r+i 
= T'(m).... 
= T f{m) 
7) 
la relazione 6) si trasforma in 
CPr(l “f - TU ~f~ U) = —)— w) -J- > 
/fc r 
y (# — mY~ l 
— h (/r -j- u) r (k -J- u) r 
-|-T r (m) — uT r r (m) -f- ^ ^ -inf. 
8 ) 
relazione, che permette di calcolare il valore di <P r (l -j- m -}- u), quante volte si 
conosca il valore corrispondente di <P r (l -f- u ). In essa figurano i coefficienti T r (w), 
T ' r (m ),... rappresentati dalle serie poco convergenti in 7). Ma anche essi possono 
svilupparsi colla formola binomiale nel modo generale seguente 
dove i è un numero d’ordine, che procede da 0 in sù, ed i coefficienti S£&... hanno 
il significato indicato dalle 4). La serie 9) è infinita, quando r sia frazionario, ma 
