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è convergente, purché f-1 Essa, invece, si arresta da sé, quando r sia un 
numero positivo e intero. Così per r = 3,4, si hanno le relazioni semplici 
T Ì\m) = 2m S^ 2 — m i S£& 
V^{m) = 3 m — 3 m* Sfc& -f m 3 S& 
Ponendo nella 8) e nella 9) m — 0 , i coefficienti TV scompaiono e si ritorna 
alla uguaglianza 
^r(l u) = <P r (l -f- u) . 
Queste forinole acquistano un significato soltanto, quando sia m = 1 almeno. 
Ponendo infine, nella 8) e nella 9), u = 0, si ha 
<M 1 
+ ») = sr»_y l <i^+ 
— Il 
m-fl 
k r 
+ ( r ! 1 ) m S^ 
^ 2 1 )wi*.S£‘ ) + ^ 3 
8 ,) 
formola, che permette di calcolare con facilità i valori <P r (2), <P r (3), tf> r (4) ecc., 
tanto per valori interi, quanto per valori frazionari di r, e che per m = n si trasforma 
nella I, 28), che essa sostituisce con vantaggio specialmente nel caso, che r sia un 
valore frazionario. 
4. Scriviamo nella 8) e nella 9) m al posto di m y dove per m■ intendiamo 
un nuovo numero intero, superiore a m e minore di n. Sottraendo le vecchie dalle 
nuove relazioni, abbiamo 
, . A (k — m) r - x (. k — m'Y 
® r(l + » + ?)“ ®ai + » + ») + _« {t + ly ->_J -Ju+ijr 
essendo 
+ T r {m',m) — aT'(» f , m) -j- 9 j u 2 Tr (m ', m )— • inf. 
Tp ) (w', m) = j 1 j (w'— m) S&? 2 — ^ 2 1 j (m' 2 — m 2 ) S<-" } 3 + • ■ ■ 
11 ) 
12 ) 
relazioni, che permettono di calcolare il valore di <P r (l -f- m' -j- u) ogni qual volta 
si conosca il valore di <P r (l -J- m -|- u) corrispondente e che naturalmente per m'=m 
conducono all’ uguaglianza 
®r(l + vn -j- u) — <t> r { 1 -f - m u). 
Prendiamo ancora la 6) come punto di partenza, scriviamo in esso u — m al 
posto di u, e procedendo allo stesso modo, adoperato nel passare dalla 6) alle 8) 
e 9), si ha con brevi riduzioni 
#V(1 — m-\-u)==® r {\-{-u)-\- ^ 
k r ~ l 
— h (k -f- u) r 
iw'v 1 (m — kY~ l (m + k) r - 1 
' A 1 4-* — » ih _L */V 
(k -f uY 
+ 
T r (— m) — t ^ u%{—m) -f- ^ 1 j u*T\— m) — • • ■ inf. 
13) 
