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essendo, in generale, 
relazioni, elle servono nel caso che si vogliano calcolare i valori <P,.(1— m + w) 
essendo noto quello corrispondente di <P r (lu). Anche queste, per m = 0, condu¬ 
cono all’uguaglianza 
e non acquistano significato che quando sia m = 1 almeno. 
5. Le forinole fin qui sviluppate servono per il calcolo delle funzioni <f> r (w), 
sia in modo diretto e indipendente, sia deducendone i valori da altri già conosciuti 
ed appartenenti alla funzione con lo stesso indice r. Esse sono applicabili per valori 
positivi e negativi di w, e per valori positivi di r, interi o frazionari che siano. 
Ma la funzione può anche essere dedotta dai valori corrispondenti di 
<l>r-i(u), cioè dall’indice inferiore. A tale scopo prendiamo la relazione I, 7), e scri¬ 
vendovi - -1 al posto di r, 1 -J- u al posto di u, k al posto di A-f- 1, possiamo 
darle la forma 
15) 
e sviluppando al solito, il binomio e mantenendo i simboli già adottati, si ha 
<M1 + u ) = ®r-\{ 1 + U ) + U _j_ u y + 
16 ) 
Valgono per questa serie le stesse considerazioni, che abbiamo fatto per la 5). Essa 
è convergente, purché — n — 1 u n -(- 1. Ma rimane inteso che bisogna tenere 
i limiti per u molto al di sotto di questi ora indicati, onde conservare alla serie 
il carattere di convergenza praticamente soddisfacente. 
Scriviamo nella 15) successivamente 
m al posto di u , k al posto di m -f- k 
—• m -j~ u 
L k » m—k , quando k <^m 
t k » k — m, » k^> m . 
Procedendo coi medesimi sviluppi, adoperati nei numeri precedenti, si ha 
17) 
