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<I> r (l — m. -\-u) — #> r -i(l — m-\- u) — 
/ nw x 'l- 0 » — kY~ l , , v- (m -f- kY -* 
(— 1)' {m — u) N ,,-jr - -rr- — (m — u) ' , , r 
(A— u) r v (k -f- u) r 18) 
■ (m 
— w)ju,(— m) — + + m)- 
• • inf. 
Inf ^ 
ì 
essendo 
o?’(») =sn\-( r ! 2 )»® + (' 2 2 )«*S£3—1») 
u>»(_ n) = Sili + ( r " 2 ) «Si;> + ( r ~ 2 ) <**Sja + ••• inf. 20 ) 
Le formole 17) e 18) vanno soggette alla condizione di convergenza — n — 1<X 
0 + 1. Le formole 19) e 20) sono formate da serie finite, quando r sia un numero 
positivo intero, e non vanno soggette a condizioni di convergenza. Ma quando r sia 
frazionario, le serie si prolungano all’ infinito e divengono convergenti quando 
m<Yn-\- 1. Per il caso speciale m = 0, la 17) e la 18) ritornano alla 16). 
Se invece di partire dalla 1, 7), si prende come punto di partenza la seconda 
delle I, 9) si ha, scrivendo p per n, la relazione più generale 
kv- 1 
n 
_ v 
kP +r ~ 1 
< * W(1 + a) =*>,(! + «) + v ( * + u)r ~ 
-f- fi u S[ n) — Qì vY Si" ) -]-••• inf. 
in cui per brevità si è posto 
_fP\ 
\ l) 
+ 
V J r r 
1 
«-{ p+ l + 1 )-{ p V) 
-' + ; + 2 )-('t*) 
21 ) 
Con questa relazione si passa immediatamente dalla funzione <D p (u) alla <V v + r (u). 
Non occorre forse aggiungere, che per r— 1, la 21 ) riconduce ad una formola ana¬ 
loga alla 16). 
Queste relazioni, specialmente per grandi valori di r, sono più convergenti 
delle analoghe nei numeri precedenti, perchè sono più piccoli i coefficienti binomiali, 
che vi figurano. Possono quindi utilmente servire, sia come formole di calcolo, sia 
come formole di controllo. * 
6 . 11 calcolo numerico delle funzioni cP r (&) non presenta alcuna difficoltà, quando 
l’indice r sia una quantità negativa. Tali funzioni sono rappresentate dalla relazione 
II, 3). Scrivendo in essa 1 -J- u al posto di u, si ha 
- ( r i) “ s >- ( 2) (3) s * • - 
CP_r(l -J- U) — — A 
21 ) 
