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È una serie finita, che si arresta da se, quante volte r sia un numero intero. 
In tale caso essa non è soggetta a condizioni di convergenza e vale per tutti i valori 
positivi e negativi di u. La funzione è puramente algebrica. 
Quandojuvece r sia un numero frazionario, la serie 21) diviene infinita ed è 
convergente, purché — 1 <C u <C -f- L ma resta anche in tali limiti poco convergente. 
Per renderla più convergente e per estendere in pari tempo i limiti della sua con¬ 
vergenza, basta prendere come punto di partenza la li, 2 ). Scrivendovi 1 -f- u al 
posto di u , k al posto di k -j- 1 , si può darle la forma seguente 
ossia 
22 ) 
espressione valevole, quante volte — n — 1 <^u <C_n 1. 
Del pari, partendo dalla II, 6 ) si ha la buona forinola di controllo 
«M1 + «) = 4M,(1 + «) + « V, + 
+ u 85» + ( ' ) h‘ SS* 1 + | ) v? Si“> -f-inf. 
23) 
che si deduce anche direttamente dalla 16), scrivendo in questa —r al posto di r. 
7. È dovuta al Gauss, in seguito ad una relazione trovata dall' Eulero, la seguente 
forinola, valevole per valori positivi di u (‘) 
24) 
in cui I3 2ft _, rappresenta, per i diversi valori di k, i numeri bernoulliani. 
Le relazioni I, 8 ,) permettono di salire da questa trascendente a quelle dall’in¬ 
dice successivo. Per arrivare, in termine generale, dalla alla (P r+1 (l -\-u), 
basta moltiplicare la prima per u r , derivarne il prodotto rispetto ad a, e dividere 
poi per r u r ~ l . Si hanno così le relazioni 
25) 
(*) Gauss, Werke III, pag. 154. 
