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relazioni, che valgono per valori pisitivi interi di r, superiori all'unità. Tutte queste 
serie appartengono alla categoria delle Semico aver genti e vanno trattate con pru¬ 
denza. I numeri bernoulliani. come è noto, sono prima decrescenti, poi crescono 
all’ infinito e costituiscono, in questa seconda parte e per loro conto, una serie più 
divergente di qualsiasi progressione geometrica. Ne segue che le serie 24) e 25) 
hanno prima carattere convergente, ma da un certo termine in poi, il cui posto 
nella serie dipende dai valori di r e di u, esse divengono divergenti. Già Gauss 
aveva avvertito tale carattere nella 24) e se ne è servito solo per grandi valori di «z, 
nel quale caso essa si presta assai bene al calcolo numerico. 
La teoria delle serie semiconvergenti è stata poi molto studiata ('). Il concetto, 
che guida in tali indagini, consiste nel considerare queste serie, nella parte conver¬ 
gente, come Unite e nel determinare il termine residuale, il quale ci assicuri del 
grado di esattezza raggiunto. Questo residuo è una frazione pura del termine suc¬ 
cessivo all’ultimo contemplato e può quindi anche ammettersi in casi non dubbi, 
come è questo, che qui trattiamo, purché non si oltrepassi il limite della parte 
convergente della serie. Trattasi, in fondo, di calcoli, in cui i termini coi numeri 
bernoulliani rappresentano le correzioni successive, le quali diventano piccolissime 
per grandi valori di u. 
A dimostrare praticamente il grado di esattezza, che si può raggiungere, pren¬ 
diamo il valore non troppo grande di u — 4 e poniamo successivamente r=l,2,3,4. 
Si ha il seguente prospetto 
<*> 
,( 5 ) 
*2 
( 5 ) 
*»( 5 ) 
*45) 
+ 
1,886 
294 
361 
1 
+ 
1,386 
294 
361 
1 
+ 
1,386 
294 
361 
+ 
1,386 294 
36 
+ 
0,125 
000 
000 
0 
+ 
1,000 
000 
000 
0 
+ 
1,500 
000 
000 
+ 
1,833 333 
33 
— 
5 
208 
333 
3 
+ 
5 
208 
333 
3 
» 
n 
n 
» 
Y ) 
» 
+ 
32 
552 
1 
— 
97 
656 
3 
+ 
97 
656 
— 
32 
55 
— 
968 
9 
+ 
4 
844 
5 
— 
9 
689 
+ 
9 
69 
+ 
63 
6 
— 
445 
2 
+ 
1 
336 
— 
2 
23 
— 
7 
2 
+ 
63 
8 
— 
259 
+ 
61 
+ 
1 
2 
— 
13 
2 
+ 
66 
— 
20 
— 
3 
+ 
3 
9 
— 
23 
+ 
9 
+ 
1 
- 
1 
5 
+ 
11 
— 
5 
— 
06 
+ 
1 
0 
— 
8 
+ 
4 
+ 
1,506 
117 
668 
3 
+ 
2,391 
409 
491 
4 
+ 
2,886 
383 
451 
+ 
3,219 603 
09 
valori, che eccettuata l’ultima decimale naturalmente incerta, concordano con quelli 
riportati in I, n. 7. Per valori più grandi di u , l’approssimazione è maggiore, come 
risulta dal seguente prospetto, per u = 10 e u = 20, 
P) Schlomilch, Compendium der hòhe.rn Analysis-, II. Die Bernoulli'schen Functionen und 
die halbconvergenten Reihen, pp. 211-242. 
Ci.assr di scienze fisiche — Memorie — Voi. XI, Ser. 5*. 80 
