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.TORNATj de sciencias mathematicas 
symetricas das primeiras relativamente ao eixo das abscissas. Do mesmo 
modo, pondo em (1) a. = a — b, obtem-se a cqua 9 ao de urn outro ramo 
da mesma espiral, que parte do ponto do eixo das abscissas onde 
p = a — h, no qual tern uma reversao, e dd, como o anterior, duas 
series de voltas a roda do circulo aciina niencionado, approximando-se 
d’este circulo e conservando-se sempre no interior d’elle. 0 circulo 
considerado e um circulo asym 2 >totico dos dois ramos. Aos valorcs de 
a differentes de a — h e a + S correspondem outros ramos da curva, 
eguaes aos que vimos de considerar, mas com eixos do symetria dif¬ 
ferentes. 
Se 4 a < ve-se do mesmo modo que a curva se reduz a uma 
oval com dois pontos de reversao, onde — a e ^=:b-\-a. 
Se 4 a = a equa§ao (1) reduz-se d seguinte: 
0 = 
Ja 
e portanto, n’este caso, a tractriz circular coincide com a curva conbe- 
cida pelo nome de spiral tractriz, cuja theoria se pode ver no nosso 
Tratado de las curvas especiales notahUs, publicado pela Academia das 
Sciencias de Madrid (Madrid, 1905, pag. 390). Este caso particular foi 
considerado por Huygens, como se ve por algumas linlias de um dos 
sens manuscriptos, publicado no tomo X, pag. 472, da edi§ao das suas 
Obras, mandada imprimir pela Sociedade Hollandeza das Sciencias. 
2.— Posto isto, 0 theorema novo sobre estas curvas, que 4 nosso 
fim principal expOr aqui, 4 o seguinte: 
Os pontos, em numero injinito, em que as tangentes a uma tractriz 
circular qualquer sao parallelas a uma recta dada estdo situados sobre 
as circumferencias de dois circulos de raio egual a a, com os centros 
sobre a parallela d recta dada, tirada pelo polo, a distancia h d este 
ponto. 
Com elfeito, se representarmos por (3 o angulo formado pela recta 
dada com o eixo das abscissas, as coordenadas dos pontos em que a 
tangente a curva 4 parallela 4 mesma recta sao determinadas pela 
equa 9 ao da curva e pela seguinte: 
dy (f- — a- h~) senO t/4a*p-—(p'-pa- — cosO 
dx —/4a-p?^{p--f a- —6-)'S(!n') 
Mas esta equa 9 ao pode ser reduzida 4 fdrma 
-P _ 2 (a2 -f 62 cos 2 P) — 2 (u^ _ cos 2 fi)?/ 
-p(J2 a2)2:^0. 
