T^ésignons par f{x) ime fonction réelle de la variable x, définie 
dans un ensemble E de points réels. Dans une NoteO 
recente j ai trouvé la condition nécessaire et suffisante pour que 
lequation fonctionelle d’ABEL2) 
(fix)) = (f> (x) 1^) ( 1 ) 
admette une solution cp (x) définie dans E ; la condition est que 
lequation fy (x) = x ne subsiste pour aucune valeur de x dans 
E pour aucun indice naturel k, en désignant par fy (x) Titérée 
k-ihme de /(x), définie par les équations 
/u fk (x) = fify-iix)), /(:=!, 2,3, •••• 
La solution donnée dans la Note citée étant en général totalément 
discontinue on peut se présenter la question s’il existe pour 
/(x) continue toujours des Solutions continues; cela n’a pas lieu, 
ce que je vais montrer en établissant le suivant 
Théoréme: Il existe une fonction réelle /(x), continue 
dans un domaine E, ayant la propriété suivante: étant donné 
une quantité positive quelconque M on peut, en désignant par 
q (x) une solution quelconque de Véquation q> (fix)) =- cp (x) + 1 
et par ^ une valeur de x dans E, assigner å x des valeurs 
telles que 
\x~é\<() I q> (x) — q^ I > M 
quelque petite soit la quantité positive d. 
Ce théoréme étant démontré on a immédiatément comme 
b Fundamenta mathematicae T. V., p. 331. 
2) Oevres, T. 11., p. 36. 
J'écris 1 å lieu de c pour plus de simplicité. 
