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R. TAMBS LYCHE. 
[No. 2 
Corollaire. Il existe une fonction réelle f{x), continue dans 
un domaine E, pour laquelle toute solution de Véquation 
q {f{x)) — q> (x) + 1 est toialément discontinue. 
Démonstration. Je donnerai un exemple d’une fonction f{x) 
tres simple satisfaisant aux conditions du théoréme. Soit en effet q 
une quantité réelle irrationelle quelconque entre 0 et 1 et choi- 
sissons des quantitées réelles quelconques satisfaisant a 1 équation 
Or, en posant 
ad— bc 
{a 4- 
= 
ax h 
cx d 
je dis que f{x) a la propriété signalée. 
Supposons en effet Téquation (1) satisfaite par une fonc¬ 
tion (p (x) telle qu’on peut pour une certaine valeur | de a * dans E 
assigner å å une valeur positive assez petite pour que [ 99 (x) 99 (^) | 
soit pour toute valeur de x dans E satisfaisant å la con- 
dition IX — 11 < . 
En calculant Titérée fn{x) on trouve sans peine') 
(ax + b) sin ns — 0 x sin {n — 1) s 
(cx + d) sm n s — 0 sin {n — 1) s 
en désignant par 0 et s des quantités positives telles que o e 
et o e~ sont les racines de Téquation quadratique 
— {a + d) r -f {ad — bc) = 0. (2) 
En supposant 0 < s < tt on a évidemment 
— — {a + d)^ (1 + tg^ q , s ~ q:x . 
On n’a jamais fn (x) = x si 72 ^ 0, car sin ns n’étant pas zéro 
par Thypothese cela entrainerait Téquation c x^ — (a — d)x + b — 0 
dont les racines sont imaginaires, 
Soient maintenant n et t deux nombres naturels quelcon¬ 
ques et posons n q — t = q \ on a done 
*) Voir povir ce calcul p. ex. E. Schroder: Math. Ann. B. 3, p. 299. 
