154 
bF dcttci svBr tdlor rättsrG dc scirskdds dcductioriGr dorsf. som 
Hr C. tid efter annan publicerat; så fann jag icke heller dem 
vara af beskaffenhet att ingifva full visshet. Fastmer hän- 
tydde åtminstone vissa ibland dem tydligt nog derpå, att möj¬ 
ligheten af functionens developpering icke kunde med full sä¬ 
kerhet utrönas endast af functionens egen och dess första de¬ 
rivatas beskaffenhet, och att således — som ofvan antyddes 
Hr Cauchy, i motsats mot Hrr Schlömilch och Tchebicheff, 
hade statuerat för få derivat-vilkor. 
Sedan jag sålunda haft äran i ivorthet angifva de om- 
ständigheteTj hvdka föranledt den närmare undersökning af fra— 
gan, som i förevarande uppsats finnes anställd; torde ock vara 
på sitt ställe att här nämna resultatet af denna undersökning. 
Det innefattas hufvudsakligen i följande 
Theorem. Om en ^{x) är continiierlig för hvarje x-valör 
med modul under någon viss gräns, och tillika dess derivata 
för hvarje sådan x-valör rätt angifves af en ^\x) af samma 
egenskap; så kan functionen f(a?) för hvarje sådan x-valör 
utvecklas i serie fortgående efter de stigande digniteterna af 
_ åtminstone om derjemte dess 2:dra derivata för de 
nämnda x-vcdörerna later rätt uttrycka sig med en f (x), 
som likaledes är continuerlig för hvarje sådan. 
Det kan visst vara möjligt', att det sistnämnda nya vil- 
koret om 2:dra derivatans continuerlighet icke är oundgängli¬ 
gen nödvändigt, likasom man äfven — oaktadt Hr Cauchy s 
sednaste framställningar — ännu kan möjligtvis hysa någon 
tvekan, om ens I:sta derivat-vilkoret är alldeles nödvändigt. 
Men om ock så skulle vara, att functionens developperings- 
möjlighet i sjelfva verket kan afgöras af blott functionens egen 
continuerlighet eller af blott functionens och dess '1:sta deriva¬ 
tas continuerlighet; så, alldenslund full visshet derom synes 
vara särdeles svår att ernå, och fördelarne för det praktiska 
af att kunna undvara undersökningen om derivatans eller de 
båda första derivatornas continuerlighet icke äro af någon egent¬ 
lig betydenhet, har det för mig varit tillfredsställande att åt- 
