der niederrheinischen Gesellschaft in Bonn. 
179 
schiedenen Grössen pq'i und der Constanten c, und endlich in den 
Gleichungen (III) und (III a ) das mittlere Ergal U als Function der 
verschiedenen Grössen pq' i 2 und der Constanten c anzusehen. 
Für die Grössen pq'i und pq'i 2 wollen wir der Kürze halber 
einfache Buchstaben einführen, indem wir setzen: 
(4) e = p q' i und u == p q/ i 2 
V ' V V V V y y 
Dann gehen die Gleichungen (II), (Ila), (III), (lila) über in: 
• (Ilb) 
1 d U 
JE = 2- Je + 2 Je 
i de 
(Mo) 
JE=^pq' Jloge 4- 2 Je 
(IHb) 
(III c) 
=== - 2 pq' Jlogu + 2 <3 
Den Satz, welcher durch alle diese Gleichungen, nur in ver¬ 
schiedenen Formen, ausgedrückt wird, wollen wir, da das Vorkom¬ 
men der Grösse U in ihnen charakteristisch ist, den Satz vom 
mittleren Ergal nennen. 
§ 3. Wie schon gesagt, lässt sich jede der Gleichungen (I), 
(II) und (III) in so viele Partialgleichungen zerlegen, wie an der 
rechten Seite unabhängige Variationen Vorkommen. Wir können 
z. B. die Gleichung (Ille) in foldender Form schreiben: 
dü„ , dü, dU ,dü B dü 
~ <f “ 1 + äü: <fUl+ "- + ^r: ,fUn + s~ ,?c < + «to.= 
duj 
du n 
dcj 
de«, 
(5)<M- r <fn, 1- - tfu 2 1 —_ tf Un dü 
—u.,4. 5Pkq .._ +a _. 
+ etc. 
■ L -ou n au d U 
2 p.q'! ^7 + ji!rf. X ••• + 5 p » q ” + d5T rfc * + dST*, 
Nehmen wir nun an, die Variationen seien sämmtlich von einander 
unabhängig, so können wir die an beiden Seiten stehenden Factoren 
jeder Variation unter einander gleichsetzen. 
Wenden wir dieses zunächst auf die Variationen du an, so 
erhalten wir n Gleichungen von der Form: 
1-1 
du = 2 u 
v v 
oder umgeschrieben: 
dü dÜ 1—-- 
^ du^ U r dlogu^ 2 ^i^ v' 
Der Differentialcoefficient des mittl eren Ergals nach 
dem Logarithmus eines u ist also gleich dem betreffen¬ 
den Theile der lebendigen Kraft. Ebenso lassen sich auch 
die Gleichungen (I) und (II) behandeln, und wir erhalten dadurch 
mit Einschluss der vorigen folgende Gleichungen: 
