der niederrheinischen Gesellschaft in Bonn. 
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Für einen einzelnen bewegten materiellen Punkt ergibt sich 
aus unseren früheren Betrachtungen, dass die Arbeit üL davon ab¬ 
hängt, in welcher Phase der Punkt sich in dem Momente befindet, 
wo die Aenderung des Ergals eintritt. Dagegen haben wir auch 
weiter gesehen, dass bei einer grossen Anzahl von Punkten, welche 
sich in verschiedenen Phasen befinden, so dass in dem Momente der 
Aenderung des Ergals alle Phasen gleichmässig vertreten sind, für 
den auf alle Punkte bezüglichen Mittelwerth jener Unterschied ver¬ 
schwindet, und dass man daher, soweit es sich um den Mittelwerth 
handelt, die nur durch die Lagenänderung der Punkto be¬ 
dingte Yariation des Ergals als den Ausdruck der Arbeit üL be¬ 
trachten kann. 
Ein solcher Fall ist unser gegenwärtiger, wo wir es bei jeder 
•vorkommenden Bewegungsart mit sehr vielen Punkten zu thun haben, 
die sich in den verschiedensten Phasen befinden, und wir können 
daher die linke Seite der obigen Gleichung einfach durch üL er¬ 
setzen, wodurch wir erhalten: 
(31) dL — I^d(v^) -r .^mv^dlogi. 
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13. In der vorstehenden Ableitung war die specielle Voraus¬ 
setzung gemacht, dass alle Punkte geschlossene Bahnen beschreiben. 
Wir wollen nun diese Voraussetzung fallen lassen und nur an der 
Annahme, dass die Bewegung stationär sei, festhalten. 
Da bei Bewegungen, die nicht in geschlossenen Bahnen statt- 
zufi'nden brauchen, der Begriff der Umlaufszeit im wörtlichen Sinne 
nicht mehr anwendbar ist, so fragt es sich, ob vielleicht ein anderer 
entsprechender Begriff an dessen Stelle zu setzen ist. 
Dazu betrachten 'wir zunächst von den Bewegungen nur die 
auf eine bestimmte Bichtung bezügliche Componente, z. B. die 
Componente nach der x-Eichtung unseres Coordinatensystemes. 
Dann haben wir es einfach mit abwechselnden Bewegungen nach 
der positiven und negativen Seite zu thun, und wenn dabei auch 
im Einzelnen in Bezug auf Elongation, Geschwindigkeit und Zeit¬ 
dauer noch mannigfache Verschiedenheiten verkommen, so liegt es 
doch im Begriffe einer stationären Bewegung, dass im Grossen und 
Ganzen in der Art, wie dieselben Bewegungszustände sich wieder¬ 
holen, eine gewisse Gleichförmigkeit herrscht. Demnach muss sich 
für die Zeitintervalle, innerhalb deren die Wiederholungen statt¬ 
finden, bei jeder Gruppe von Punkten, die sich in ihren Bewegungen 
gleich verhalten, ein Mittelwerth aufstellen lassen. Bezeichnen wir 
diese mittlere Zeitdauer einer Bewegungsperiode mit i, so können 
wir unbedenklich auch für die jetzt betrachtete Bewegung die 
Gleichung (28) nämlich: 
