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Voici la démonstration qu’il a trouvée : 
En prenant la hauteur pour axe des x et désignant la 
surface d’une section quelconque par y, on a l’intégrale 
suivante pour l’expression du volume : 
( y dx 
en supposant y = f (x), 
on aura B = f (o) B' = f (x), S = f (-^ x) 
Or la formule Sergent établit que : 
y ^ f (x) dx 
[f(o)+4f(-i-x)^f(x)] 
6 L- v--/ " y 2 
Si on la ditférentîe, on trouve : 
f(x)^-f [f (o) + f(x)-.4f(4-x)]^ 
[f' (’‘) + 2 f- (4- X ] 
et après toutes réductions : 
5 f (x) =: f (o) + 4 f (-^ x) -t- X f (x) 4- 2 X f' (-^ x) 
f' (x) représente la dérivée de f (x). 
Cette égalité doit devenir une identité pour tous les 
corps auxquels la formule est applicable. 
Or si on développe f (x), f x), f (x) et f (-^ x) 
par la formule de Maclaurin , suivant les puissances de 
X , on trouve que l’égalité devient, après réductions: 
5 f (o) -+- 5 X f (o) 4- f" (o) 4- {>" (o) 
P (o) 4- etc. = 5f (o) 4- 5 X f' (o) 
5x 
24 
f” (0) 
:jX 
f'" (o) 4- ~ r (o) 4- etc. 
Les deux membres sont identiques jusqu’à la troi¬ 
sième dérivée; depuis là ils diflèrent. Pour que l’égalité 
