wodurch die Summe der obenbezeichnelen Differenzen, sie 
särnmllich als positiv betrachtet, die kleinstmögliche, dagegen 
mit Rücksicht auf ihre Zeichen =z 0 werde. Er findet eben¬ 
falls die Methode der kleinen Quadrate, jedoch streng ge¬ 
nommen nur für eine unendlich grosse Anzahl von Beobach¬ 
tungen gültig. Da diese nie vorhanden ist, und schon die 
Weitläufigkeit der Rechnung eine sehr grosse Menge von Be¬ 
obachtungen auf eine massige Anzahl durch andere Kunst¬ 
griffe (z. B. durch die sogenannten Normalörter) zu beschränken 
nölhigt, da ferner die Zeichen-Aenderung der negativen Dif¬ 
ferenzen bei der ersten der oben bezeichneten Summen doch 
sehr willkürlich erscheint, und da endlich bei der Auffassung 
von Laplace Grösse und Wahrscheinlichkeit eines Fehlers glei¬ 
chen Einfluss auf das Resultat haben, so stellt sich Gauss in 
seiner Theoria cornbinalionis observationum erroribus minimis 
obnoxiae. Gött. 1823. die Aufgabe: wie sind Beobachtungen 
von jeder beliebigen Anzahl (nur grösser als die der zu be¬ 
stimmenden Grössen) zu verbinden, so dass der mittlere Fehler 
den kleinsten Werth erhalte; unter mittlerem Fehler aber nicht 
die erste der obenbezeichneten Summen durch die Zahl der 
Beobachtungen dividirt, sondern die Quadratwurzel aus der 
Summe der Quadrate aller Fehler, jeder mit seiner Wahr¬ 
scheinlichkeit multiplicirt, oder näherungsweise die Quadrat¬ 
wurzel aus der Summe der Quadrate der Differenzen zwischen 
Rechnung und Beobachtung, dividirt durch die Zahl der Be¬ 
obachtungen, verstanden. Hiedurch wird, da die Quadrate von 
selbst positiv sind, die Willkürlichkeit der Zeichen-Aenderung 
beseitigt, der Grösse des Fehlers, ebenfalls wegen seines Qua¬ 
drates ein grösserer Einfluss als seiner Wahrscheinlichkeit ein¬ 
geräumt, und die Methode der kleinsten Quadrate für jede Zahl 
von Beobachtungen als die beste Verbindung derselben be¬ 
gründet. Manchmal haben die zu bestimmenden Grössen ausser 
den Gleichungen zwischen ihnen und den beobachteten Grössen 
auch noch anderen Bedingungen, und zwar völlig streng, zu 
genügen, z. B. in der Geodäsie, dass alle Winkel um einen 
Punct zusammen = 360, die in einem ebenen Dreieck zu¬ 
sammen 180 sein müssen, wodurch noch einige Aenderungen 
an der Methode der kleinsten Quadrate nöthig werden. Durch 
seine Gradinessung im Königreich Hannover wurde Gauss da- 
