MÉMOIRES. 4^ 
'vaîeur^ q«i.,5 substituée dans la première , donne 
a = a x‘‘ -\-f — R’—Cj. 
Enfin 5 portant cette valeur de a dans la seconde , 
on aura 
. ——c + \/it;"+r^ — 
r sin-!-^— -h ,r cos-- 
qui est l’équation des projections des lignes de 
courbure de l’héliçoïde sur le plan des x ^ j ; en 
la joignant à celle de l’iiélicoïde (g) , on aura les 
deux équations qui déterminent chaque ligne de 
courbure. Or, si l’on compare ces deux équations, 
on verra , d’après leur composition analogue , que 
les valeurs des sinus et cosinus qui y sont renfer¬ 
més doivent être les mêmes de part et d’autre, par 
suite les arcs eux-mêmes doivent être égaux. Donc 
on aura pour tous les points d’une même trajec- 
toire orthogonale — = — C, ou simplement 2 = 
une constante arbitraire , ce qui est l’équation 
d’un plan parallèle au plan des X, j. D’où l’on 
conclura que les trajectoires orthogonales de l’hé¬ 
lice sont les sections faites sur l’héliçoïde dévelop¬ 
pable par des plans parallèles au plan de la base 
du cylindre. Si l’on faisait G = o , la trajectoire 
serait la trace de l’héliçoïde sur le plan des x^ y, 
ou la développante du cercle de la base du cy¬ 
lindre. 
