MÉMOIRES. 51 
î) différentielle de Vordre ii, do?it les solutions 
J) satisfont h celle de Vordre m+n. » Les comptes 
rendus de l’Institut ( Académie des Sciences ), ont 
rapporté la démonstration simple et élégante que 
M. Liouville a donnée de cette belle proposition. 
Les travaux originaux de M. Sturm, en agrandis¬ 
sant le domaine de nos connaissances, relative¬ 
ment à l’intégration ou à la discussion des équa¬ 
tions différentielles qui se rencontrent dans les 
applications de l’analyse à la physique , ont fait 
connaître aux géomètres des analogies aussi re¬ 
marquables qu’utiles entre les propriétés de ces 
équations et celles des équations algébriques. 
M. Liouville a publié à diverses époques des tra¬ 
vaux importants sur des classes particulières d’é¬ 
quations dilîérentiefles ; mais ces recherches, qui 
ont puissamment contribué aux progrès de l’ana¬ 
lyse, ne se rapportent pas directement à la théorie 
générale qui fait l’objet de ce Mémoire. 
Une transformation très-simple, imaginée par 
d’Alembert, nous donne d’abord avec une extrême 
facilité la généralisation d’un théorème que ce 
grand géomètre a démontré pour l’intégration des 
équations différentielles à coefficients constants , 
lorsque l’équation algébrique, de la résolution de 
laquelle dépend l’intégration de l’équation , a des 
racines égales. Ce théorème nous conduit naturel- 
O 
lement à la considération des fonctions qui sont 
désignées dans ce Mémoire par X, 'X, "X, '"X..., 
fonctions que les géomètres n’avaient pas encore 
étudiées, et qui nous paraissent avoir, dans le 
