MÉMOIRES. 6r 
X. .,=5(X,.)+k£^ (X,.)+-+Ps (X.)+Q(X.)(3) 
le second membre de cette formule égalé à zéro 
O 
est une équation différentielle linéaire de l’ordre p 
dont la fonction inconnue serait et cette for¬ 
mule q^rouve évidemment 5 dans le casque nous 
supposons, l’abaissement possible de la fonction 
de l’ordre à l’ordre p ; ce qui offre une dé¬ 
monstration très - simple du beau théorème de 
M. Libri, démonstration quia quelque analogie 
avec celle que M. Liouville a donnée du même 
théorème, mais qui résulte d’une manière directe 
de la recherche des solutions communes à deux 
équations difïérentiellesj par un procédé analogue 
au diviseur commun algébrique. 
Au reste, l’énoncé du beau théorème de M. Li- 
bri me fait penser que ce savant géomètre n’a 
pas suivi, pour l’établir, la méthode que nous ve¬ 
nons d’exposer ; sans cela il est à présumer qu’il 
serait arrivé à un théorème beaucoup plus général 
qui se déduit de la manière la plus simple de 
cette méthode : observons d’abord qu’elle s’ap¬ 
plique évidemment à la recherche des solutions 
communes à un nombre quelconque d’équations 
différentielles linéaires. Supposons que ces solu¬ 
tions communes existent, et qu’elles soient don¬ 
nées par une équation de l’ordre p , X^ , les 
premiers membres de toutes les équations diffé¬ 
rentielles se développeront évidemment d’une ma¬ 
nière absolument semblable à la formule ( 3 ), et 
ces expressions, que la recherche des solutions 
