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Uebrigens lässt sich auch leicht der analytische Be¬ 
weis für unsere Behauptung erbringen. In Figur 5 sei 0 
der Mittelpunkt und P ein Punkt des Umfanges der ur¬ 
sprünglichen Kreismembran; die Entfernung OP sei der 
Einfachheit halber als Längeneinheit gewählt. Die Linien 
OSi und 0S 2 entsprechen den festen Ausgangsaxen der 
Figg. 3 und 4. Die Geraden OX und OY mögen die positiven 
Lichtungen eines rechtwinkeligen Koordinatensystems dar¬ 
stellen, welches wir später so bestimmen wollen, dass es 
mit 2 Halbaxen der Quellungsellipse zusammenfällt. Durch 
die Quellung normal zu OS x wird P nach P l7 durch die 
Quellung normal zu 0S 2 nach P 2 , durch beide gleichzeitig 
also nach dem Diagonalendpunkt Q gelangen. Die Koor¬ 
dinaten von P seien x und y , die von Q dagegen seien 
£ und r). Wenn nun OP mit der Abscissenaxe den Win¬ 
kel s bildet, ist x — cos e und y = sin e. 
Durch die Verschiebung nach P 2 vermehrt sich x um 
PT und y um P 2 T. Wenn aber OS 2 mit OX den spitzen 
Winkel ß bildet, und die Verlängerung von P 2 P die Linie 
OS 2 in U schneidet, so ist PU — sin (£+/?), also PP 2 = 
n sin O + ß), falls n den Quellungskoefficienten normal zu 
OS 2 anzeigt. Da nun auch PP%T — ß, so ist weiterhin: 
PT — n sin {e + ß) sin ß, 
P 2 T — n sin (e + ß) cos ß. 
Zweitens nimmt durch die Quellung normal zu OS 1 
die Grösse x um die Strecke PS ab, während y um P^S 
= YQ zunimmt. Ist nun der Winkel zwischen OS 1 und 
OX gleich a, und m der Quellungskoefficient normal zu 
OS l7 so ergiebt sich auf analogem Wege: 
PS = m sin [e — a) sin a, 
P ± S ~ m sin (e — a) cos cf . 
Mithin erhält man für l und rj die Gleichungen: 
1) ^ ~ cos s — m sin (e — a) sin a -f- n sin (e + ß) sin ß, 
2) rj = sin £ + m sin (e — a) cos a + n sin (e + ß) cos ß. 
Wenn nun Q einer Ellipse mit den Halbaxen a und 
b angehören, und diese mit den Koordinatenaxen OX und 
OY zusammenfallen sollen, so müssen sich die Gleichun¬ 
gen für | und rj auf die Form bringen lassen: 
3) £ = a cos £ und 4) rj — b sin e. 
