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Entwickelt man aber in den Gleichungen 1) und 2) 
die trigonometrischen Functionen der Summen und Diffe¬ 
renzen, so wird 
f 5) £ = (1 + sin 2 a + n sin 2 ß) cos e, 
\ 6) r] — (1 -j- m cos 2 a -f- n cos 2 ß ) sin «, 
sobald zwischen a und /? die Gleichung besteht: 
7) m sin «cos« — n sin ß cos ß = 0. 
Für diese beiden Winkel gilt zudem ferner die Be¬ 
ziehung : 
8) a -f- ß — £. 
Aus 7) und 8) lässt sich aber a und ß stets so be¬ 
stimmen, dass 5) und 6) erfüllt ist. Damit ist unsere Be¬ 
hauptung für den Fall zweier ursprünglicher Quellungs¬ 
richtungen N 1 N 1 und X 2 X 2 erwiesen. Die Faktoren der 
Gleichungen 5) und 6), die in Klammern eingeschlossen sind, 
geben die Länge der Ellipsenhalbaxen, ihre um 1 vermin¬ 
derten Werthe m sin 2 « + n sin 2 ß und m cos 2 a + n cos 2 ß 
mithin die Quellungskoefficienten längs dieser Axen an. 
Diese Betrachtung lässt sich nun auch leicht auf den 
allgemeinen Fall ausdehnen, dass auf die Membrantheil- 
chen bei der Zwischenlagerung von Wasser nicht blos 
nach zwei, sondern nach beliebig vielen Richtungen Ver¬ 
schiebungskomponenten wirken. Um diesen zu behandeln,, 
zählen wir die Winkel der Ausgangsaxen OS alle nach 
derselben Richtung wie «, nämlich von OX aus nach links 
und bezeichnen sie mit a Xi « 2 , a 3 etc. und die zugehörigen 
Quellungskoefficienten mit m v m 2 , m 3 u. s. w. Wenn wir 
im übrigen dieselbe Bezeichnung beibehalten, so ergiebt 
sich: 
I) £ = cos e — 2' m sin (e — a) sin «, 
II) rj = sin e -f- — m sin (e — a) cos «, 
oder wenn wir die trigonometrischen Funktionen der Win¬ 
keldifferenzen wiederum zerlegen, 
III) £ — cos s — 2 m sin £ sin a cos ct + 2 m cos £ sin 2 a , 
IV) rj = sin £ + 2" m sin £ cos 2 a + 2 m cos £ sin cc cos et. 
Setzen wir jetzt: 
V) m sin a cos a — 0, 
so wird: 
^ j £ = (1 + 2 m sin 2 ct) cos £, 
^ rj — (1 + 2m cos 2 ct) sin £. 
