200 
REVUE SCIENTIFIQUE DU BOURBONNAIS 
PROBABILITÉS 
Les N 'premiers nombres entiers sont renfermés dans 
une urne ; on tire au hasard deux nombres x et y. 
Quelle est la probabilité que la somme x -J- y soit un 
nombre premier avec N ? 
Donnons à x une valeur fixe, à y une valeur variable, 
nous aurons pour x y une suite de N valeurs 
X i, X 2. X 3, .. X + N — 1, X + N. (a) 
renfermant cp(N) nombres premiers avec N (1). 
Faisant ensuite varier x, nous aurons N séries sem¬ 
blables à (a) et renfermant en tout N(p \N) nombres pre¬ 
miers avec N. 
Mais il faut supprimer de ces séries les nombres qui 
correspondent à x = y, c’est-à-dire 
^ 2 2, 3 -j- 3,.^ N -|- N. ((5) 
Lorsque N est pair, la suite (p) ne présente aucune 
chance favorable, lorsque N est impair, elle présente 
cp (N) chances favorables. 
Donc la somme x y offre N (N — 11 cas possibles, 
parmi lesquels Ncp (N) favorables, dans l’h^^pothèse de 
N pair, et Ncp (N) — ^p(N), dans celle de N impair. 
On en conclut que la probabilité cherchée est égale à 
iN) (p (N) 
ou a 
suivant que N est pair ou impair. 
N — 1 N 
Si N est égal à 2, on voit de suite que la probabilité 
est devenue une certitude. La formule donne en effet 
<j)(N) 
N 
= 1 . 
q) Nous désignons par le symbole 9(N) le nombre qui exprime 
combien il y a de nombres non supérieurs à N et premiers à N. 
M. Sylvester a donné à cette fonction numérique le nom de 
totient, et l’a désignée parT(n). Le mot indicateur a été employé par 
Cauchy. 
«y 
